Questão 4
Seja X uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo (-\varphi, \varphi). Qual o valor de \varphi que satisfaz à equação P\left(X<\frac{2}{5}\right)=\frac{3}{4}. \bigcirc a. \frac{7}{20} \bigcirc b. \frac{8}{5} \bigcirc c. \frac{\mathbf{9}}{\mathbf{1 0}} \bigcirc d. \frac{4}{5}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e vai pedir uma única coisa.
Informação: X é uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo (-\varphi,\varphi).
Pergunta: encontrar o valor de \varphi que satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos lembrar, passo a passo, o que significa “densidade uniforme” em [(-\varphi,\varphi)).
A densidade (pdf) de uma distribuição uniforme contínua em um intervalo tem valor constante dentro do intervalo e zero fora.
O comprimento do intervalo (-\varphi,\varphi) é 2\varphi. Para que a área total (probabilidade total) seja 1, a altura da densidade deve ser o inverso do comprimento do intervalo.
Aqui \varphi>0\] e \(\dfrac{1}{2\varphi} é a constante que garante \int_{-\varphi}^{\varphi} \dfrac{1}{2\varphi}\,dx = 1.]
Passo 3
Agora vamos obter a função de distribuição acumulada (CDF) F_X(x)=P(X\le x) para x no intervalo [-\varphi,\varphi]. Isso se faz integrando a densidade desde o limite inferior até x:
Explicando as peças: t é a variável de integração, \dfrac{1}{2\varphi} é a densidade constante, e a integral dá a área do retângulo de base x-(-\varphi)=x+\varphi e altura \dfrac{1}{2\varphi}.
Passo 4
Usamos a fórmula da CDF com x=\dfrac{2}{5}. A condição do enunciado é
Verificação rápida (para me deixar tranquilo e a você também): com \varphi=\dfrac{4}{5} o intervalo é \left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{4}{5}\right) e de fato \dfrac{2}{5} está dentro do intervalo. Calculando a probabilidade: