Questão 4
Seja X uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo (-\varphi, \varphi). Qual o valor de \varphi que satisfaz à equação P\left(X<\frac{2}{5}\right)=\frac{3}{4}.
\bigcirc a. \frac{7}{20}
\bigcirc b. \frac{8}{5}
\bigcirc c. \frac{\mathbf{9}}{\mathbf{1 0}}
\bigcirc d. \frac{4}{5}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e vai pedir uma única coisa.
  • Informação: X é uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo (-\varphi,\varphi).
  • Informação: P\!\left(X<\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{3}{4}.
  • Pergunta: encontrar o valor de \varphi que satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos lembrar, passo a passo, o que significa “densidade uniforme” em [(-\varphi,\varphi)).
  • A densidade (pdf) de uma distribuição uniforme contínua em um intervalo tem valor constante dentro do intervalo e zero fora.
  • O comprimento do intervalo (-\varphi,\varphi) é 2\varphi. Para que a área total (probabilidade total) seja 1, a altura da densidade deve ser o inverso do comprimento do intervalo.
  • Portanto a densidade é
f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\varphi}, & -\varphi<x<\varphi,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Aqui \varphi>0\] e \(\dfrac{1}{2\varphi} é a constante que garante \int_{-\varphi}^{\varphi} \dfrac{1}{2\varphi}\,dx = 1.]

Passo 3

Agora vamos obter a função de distribuição acumulada (CDF) F_X(x)=P(X\le x) para x no intervalo [-\varphi,\varphi]. Isso se faz integrando a densidade desde o limite inferior até x:
F_X(x)=\int_{-\varphi}^{x}\frac{1}{2\varphi}\,dt=\frac{x-(-\varphi)}{2\varphi}=\frac{x+\varphi}{2\varphi},\qquad -\varphi\le x\le\varphi.
Explicando as peças: t é a variável de integração, \dfrac{1}{2\varphi} é a densidade constante, e a integral dá a área do retângulo de base x-(-\varphi)=x+\varphi e altura \dfrac{1}{2\varphi}.

Passo 4

Usamos a fórmula da CDF com x=\dfrac{2}{5}. A condição do enunciado é
P\!\left(X<\frac{2}{5}\right)=F_X\!\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{3}{4}.
Pela fórmula da CDF isso vira a equação
\frac{\frac{2}{5}+\varphi}{2\varphi}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para \varphi. Primeiro multiplicamos ambos os lados por 2\varphi:
\frac{2}{5}+\varphi=\frac{3}{4}\cdot 2\varphi=\frac{3}{2}\varphi.
Isolando os termos com \varphi:
\frac{2}{5} = \frac{3}{2}\varphi - \varphi = \left(\frac{3}{2}-1\right)\varphi=\frac{1}{2}\varphi.
Logo
\varphi = 2\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar tranquilo e a você também): com \varphi=\dfrac{4}{5} o intervalo é \left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{4}{5}\right) e de fato \dfrac{2}{5} está dentro do intervalo. Calculando a probabilidade:
\frac{\frac{2}{5}+\frac{4}{5}}{2\cdot\frac{4}{5}}=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},
confirma que \varphi=\dfrac{4}{5} satisfaz a condição.

Resposta

\dfrac{4}{5}

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