Questão 5
Seja X distribuída uniformemente entre
(-2
leq x
leq 2). Calcule
P\left(|x-1|
geq
frac{1}{2}\right)
bigcirc C.
frac{1}{4}
bigcirc a.
frac{3}{4}
bigcirc b.
frac{1}{8}
bigcirc d.
frac{5}{8}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação 1: X é uma variável com distribuição uniforme no intervalo [-2,2].
  • Informação 2: Queremos calcular a probabilidade \displaystyle P\bigl(|x-1|\geq \tfrac{1}{2}\bigr).
O que se pede: calcular numericamente \displaystyle P\bigl(|x-1|\geq \tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa "uniforme no intervalo [-2,2]" e como isso nos ajuda a calcular probabilidades. Para uma variável contínua X uniforme em [a,b]:
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in[a,b],
onde f(x) é a densidade de probabilidade. A probabilidade de um subconjunto S\subset[a,b] é a integral da densidade sobre S, que por ser constante resulta na razão entre o comprimento de S e o comprimento total [a,b]. Ou seja,
P(X\in S)=\frac{\text{comprimento de }S}{b-a}.
Aqui a=-2, b=2 e, portanto, o comprimento total é b-a=2-(-2)=4. A ideia prática: para distribuções uniformes, calcular probabilidade = medir comprimento do conjunto favorável e dividir pelo comprimento total.

Passo 3

Vamos transformar a desigualdade com valor absoluto em intervalos mais manejáveis. Temos
|x-1|\geq \tfrac{1}{2}
isso equivale (pela definição de módulo) a
x-1\leq -\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x-1\geq \tfrac{1}{2}.
Agora resolvendo cada parte:
x-1\leq -\tfrac{1}{2}\implies x\leq 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
x-1\geq \tfrac{1}{2}\implies x\geq 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto o conjunto de interesse é \{x\mid x\leq \tfrac{1}{2}\}\cup\{x\mid x\geq \tfrac{3}{2}\}.

Passo 4

Agora intersectamos esse conjunto com o suporte da distribuição, que é [-2,2]. Assim as partes favoráveis dentro do suporte são os intervalos
[-2,\tfrac{1}{2}]\quad\text{e}\quad[\tfrac{3}{2},2].
Observação: usamos intervalos fechados porque a desigualdade é com \geq (os pontos extremos pertencem ao conjunto).

Passo 5

Calculamos os comprimentos desses intervalos (faça assim na prova sem calculadora, trabalhando em frações):
  • Comprimento do intervalo [-2,\tfrac{1}{2}] é \tfrac{1}{2}-(-2)=\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{2}=\tfrac{5}{2}.
  • Comprimento do intervalo [\tfrac{3}{2},2] é 2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{4}{2}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}.
Somando os dois comprimentos favoráveis:
\text{comprimento favorável}=\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{2}=3.á
O comprimento total do suporte já vimos que é 4.

Passo 6

Para a distribuição uniforme, a probabilidade pedida é a razão entre o comprimento favorável e o comprimento total. Assim a probabilidade é a razão entre 3 e 4.

Resposta

a. \displaystyle \frac{3}{4}

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