Questão 5
Seja X distribuída uniformemente entre
(-2
leq x
leq 2). Calcule
P\left(|x-1|
geq
frac{1}{2}\right)
bigcirc C.
frac{1}{4}
bigcirc a.
frac{3}{4}
bigcirc b.
frac{1}{8}
bigcirc d.
frac{5}{8}
Seja X distribuída uniformemente entre
(-2
leq x
leq 2). Calcule
P\left(|x-1|
geq
frac{1}{2}\right)
frac{1}{4}
frac{3}{4}
frac{1}{8}
frac{5}{8}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Informação 1:
é uma variável com distribuição uniforme no intervalo . - Informação 2: Queremos calcular a probabilidade
.
O que se pede: calcular numericamente
.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o que significa "uniforme no intervalo
" e como isso nos ajuda a calcular probabilidades. Para uma variável contínua
uniforme em
:
onde
é a densidade de probabilidade. A probabilidade de um subconjunto
é a integral da densidade sobre
, que por ser constante resulta na razão entre o comprimento de
e o comprimento total
. Ou seja,
Aqui
,
e, portanto, o comprimento total é
. A ideia prática: para distribuções uniformes, calcular probabilidade = medir comprimento do conjunto favorável e dividir pelo comprimento total.
Passo 3
Vamos transformar a desigualdade com valor absoluto em intervalos mais manejáveis. Temos
isso equivale (pela definição de módulo) a
Agora resolvendo cada parte:
Portanto o conjunto de interesse é
.
Passo 4
Agora intersectamos esse conjunto com o suporte da distribuição, que é
. Assim as partes favoráveis dentro do suporte são os intervalos
Observação: usamos intervalos fechados porque a desigualdade é com
(os pontos extremos pertencem ao conjunto).
Passo 5
Calculamos os comprimentos desses intervalos (faça assim na prova sem calculadora, trabalhando em frações):
- Comprimento do intervalo
é - Comprimento do intervalo
é
Somando os dois comprimentos favoráveis:
O comprimento total do suporte já vimos que é
.
Passo 6
Para a distribuição uniforme, a probabilidade pedida é a razão entre o comprimento favorável e o comprimento total. Assim a probabilidade é a razão entre
e
.
Resposta
a.