Determine a expressão do termo geral das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a expressão do termo geral” da sequência (os termos mostrados da série) cujos primeiros termos são:
Informações dadas (listando os termos que aparecem):
- 1º termo:
- 2º termo:
- 3º termo:
- 4º termo:
O que se quer: uma fórmula que, dada a posição(1ª, 2ª, 3ª, …) retorna o termo correspondente.
Passo 2
Vamos entender o padrão de forma clara e simples (isso é o essencial numa prova: identificar como numerador e denominador variam com
).
Observando os termos:
- O numerador dos termos é:
— ou seja, cresce em uma unidade a cada termo. - O denominador dos termos é:
— que é exatamente o numerador mais 1.
Escolhemos indexar os termos usando
começando em
(isso é natural porque o primeiro termo mostrado corresponde a
). Então o numerador será
e o denominador será
. Assim propomos a fórmula
Passo 3
Vamos verificar a fórmula fazendo substituições (isso ajuda a ter certeza e também é algo que costuma cair bem na correção):
- Para
: — confere com o primeiro termo. - Para
: — confere com o segundo termo. - Para
: — confere. - Para
: — confere.
Então a fórmula é coerente com os termos dados.
Passo 4
Uma reescrita útil (muito prática em provas) é transformar
escrevendo o numerador como
. Isso dá uma forma que às vezes facilita somas, limites etc.:
Essa forma mostra, por exemplo, que os termos se aproximam de
quando
cresce (dica de interpretação rápida numa prova).
Passo 5
Observação sobre indexação (pequeno cuidado de prova): se alguém preferir iniciar a contagem em
, a fórmula deve ser ajustada para que o termo de posição
seja
. Nesse caso pode-se definir
Mas como é mais comum iniciar em
, a resposta padrão é a do Passo 2.