Determine a expressão do termo geral das seguintes séries:
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a expressão do termo geral” da sequência (os termos mostrados da série) cujos primeiros termos são:
\frac{1}{2},\\ \frac{2}{3},\\ \frac{3}{4},\\ \frac{4}{5},\\ \ldots
Informações dadas (listando os termos que aparecem):
  • 1º termo: \dfrac{1}{2}
  • 2º termo: \dfrac{2}{3}
  • 3º termo: \dfrac{3}{4}
  • 4º termo: \dfrac{4}{5}
    O que se quer: uma fórmula que, dada a posição n (1ª, 2ª, 3ª, …) retorna o termo correspondente.

Passo 2

Vamos entender o padrão de forma clara e simples (isso é o essencial numa prova: identificar como numerador e denominador variam com n).
Observando os termos:
  • O numerador dos termos é: 1,2,3,4,\ldots — ou seja, cresce em uma unidade a cada termo.
  • O denominador dos termos é: 2,3,4,5,\ldots — que é exatamente o numerador mais 1.
Escolhemos indexar os termos usando n começando em 1 (isso é natural porque o primeiro termo mostrado corresponde a n=1). Então o numerador será n e o denominador será n+1. Assim propomos a fórmula
a_n=\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Vamos verificar a fórmula fazendo substituições (isso ajuda a ter certeza e também é algo que costuma cair bem na correção):
  • Para n=1: a_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2} — confere com o primeiro termo.
  • Para n=2: a_2=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3} — confere com o segundo termo.
  • Para n=3: a_3=\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4} — confere.
  • Para n=4: a_4=\dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5} — confere.
Então a fórmula é coerente com os termos dados.

Passo 4

Uma reescrita útil (muito prática em provas) é transformar \dfrac{n}{n+1} escrevendo o numerador como (n+1)-1. Isso dá uma forma que às vezes facilita somas, limites etc.:
\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Essa forma mostra, por exemplo, que os termos se aproximam de 1 quando n cresce (dica de interpretação rápida numa prova).

Passo 5

Observação sobre indexação (pequeno cuidado de prova): se alguém preferir iniciar a contagem em n=0, a fórmula deve ser ajustada para que o termo de posição 0 seja \dfrac{1}{2}. Nesse caso pode-se definir
a_n=\frac{n+1}{n+2},\quad n\ge0.
Mas como é mais comum iniciar em n=1, a resposta padrão é a do Passo 2.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},\quad n\ge1

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