Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma, caso convergente, da série cujo termo geral é
Ou seja, precisamos analisar e, se a série for convergente, calcular
Informações fornecidas que vamos usar: o termo geral
para
. O pedido é a soma da série infinita (se convergir).
Passo 2
Reconhecendo a forma do termo: note que podemos escrever o termo geral como
Isso mostra que a série é do tipo geométrico padrão. Vou explicar rapidamente a fórmula da soma de uma série geométrica e por que ela vale.
Definição e fórmula (mini-aula): uma série geométrica na forma padrão é
onde
é o primeiro termo (quando
) e
é a razão (número que é elevado a
). A soma dessa série, quando converge, é
desde que
. Explicação do porquê (prova curta): defina a soma parcial
Se
então
quando
, logo passando ao limite obtemos
Se
, os termos não tendem a zero e a série diverge.
Passo 3
Identificar
e
no nosso caso: comparando com
,
Aqui
é o primeiro termo da série (quando
temos
) e
é a razão que é repetida em potências.
Passo 4
Verificar a condição de convergência: calculamos o valor absoluto da razão
Portanto a série converge e podemos usar a fórmula da soma.
Passo 5
Aplicar a fórmula da soma: substituindo
e
em
,
Fazendo a divisão passo a passo:
Passo 6
Comentário final e dica rápida: a série converge porque a razão em módulo é menor que
. Alternativamente pode-se derivar o mesmo resultado usando a soma parcial
e fazendo
(o termo
). Bonito, rápido e repetível na prova: identifique
e
, verifique
, calcule
. Força aí — você já tem essa na mão!