Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \frac{3}{4^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma, caso convergente, da série cujo termo geral é
a_n=\frac{3}{4^{n-1}}.
Ou seja, precisamos analisar e, se a série for convergente, calcular
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^{n-1}}.
Informações fornecidas que vamos usar: o termo geral \dfrac{3}{4^{n-1}} para n=1,2,3,\ldots. O pedido é a soma da série infinita (se convergir).

Passo 2

Reconhecendo a forma do termo: note que podemos escrever o termo geral como
\frac{3}{4^{n-1}}=3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}.
Isso mostra que a série é do tipo geométrico padrão. Vou explicar rapidamente a fórmula da soma de uma série geométrica e por que ela vale.
Definição e fórmula (mini-aula): uma série geométrica na forma padrão é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo (quando n=1) e r é a razão (número que é elevado a n-1). A soma dessa série, quando converge, é
S=\frac{a}{1-r},
desde que |r|<1. Explicação do porquê (prova curta): defina a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} a\,r^{\,n-1}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad(\text{fórmula conhecida para soma de PG finita}).ó
Se |r|<1 então r^{N}\to0 quando N\to\infty, logo passando ao limite obtemos
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty} a\frac{1-r^{N}}{1-r}=\frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge1, os termos não tendem a zero e a série diverge.

Passo 3

Identificar a e r no nosso caso: comparando com a\,r^{n-1},
a=3,\qquad r=\frac{1}{4}.
Aqui a é o primeiro termo da série (quando n=1 temos 3\cdot(1/4)^{0}=3) e r é a razão que é repetida em potências.

Passo 4

Verificar a condição de convergência: calcu­lamos o valor absoluto da razão
|r|=\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1.
Portanto a série converge e podemos usar a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicar a fórmula da soma: substituindo a=3 e r=\dfrac{1}{4} em S=\dfrac{a}{1-r},
S=\frac{3}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{3}{\tfrac{3}{4}}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{3}{\tfrac{3}{4}}=3\cdot\frac{4}{3}=4.

Passo 6

Comentário final e dica rápida: a série converge porque a razão em módulo é menor que 1. Alternativamente pode-se derivar o mesmo resultado usando a soma parcial S_N=3\frac{1-(1/4)^{N}}{1-1/4} e fazendo N\to\infty (o termo (1/4)^{N}\to0). Bonito, rápido e repetível na prova: identifique a e r, verifique |r|<1, calcule \dfrac{a}{1-r}. Força aí — você já tem essa na mão!

Resposta

4

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