Mostre que
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{1}{a}

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(a+n)(a+n+1)}
e pede para mostrar que essa soma vale \dfrac{1}{a}. Vou listar o que temos e o que precisamos:
  • Informação dada: a expressão geral do termo é \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} para n=0,1,2,\ldots.
  • Pedido: provar que a soma infinita é igual a \dfrac{1}{a}.
  • Condições necessárias para a soma fazer sentido: nenhum denominador pode ser zero, portanto a não pode ser igual a 0,-1,-2,\dots. Nas contas que seguem vou supor que a não é um inteiro não-positivo (isso evita termos indefinidos).
    Não resolvo nada ainda aqui; só deixei claro o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Idéia principal que vamos usar: decomposição em fracções parciais que transforma cada termo numa diferença de dois termos mais simples — isto gera uma soma telescópica. Vamos decompor
\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}
como diferença de duas frações simples. Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{A}{a+n}+\frac{B}{a+n+1}.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (a+n)(a+n+1) obtemos
1=A(a+n+1)+B(a+n).
Agrupando termos em n (ou equivalentes) e comparando coeficientes, como o lado direito é linear em n mas o esquerdo é constante, os coeficientes de n devem se anular e a parte constante deve dar 1. Uma maneira mais direta é avaliar em valores convenientes: substituir n=-a (se permitido) e n=-a-1 dá rapidamente os valores de A e B. Fazendo isso (ou igualando coeficientes) obtém-se
A=1,\qquad B=-1.
Portanto
\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{1}{a+n}-\frac{1}{a+n+1}.

Passo 3

Agora que cada termo é uma diferença, somamos de n=0 até n=N para formar a soma parcial S_N:
S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{1}{a+n}-\frac{1}{a+n+1}\right).
Escrevendo explicitamente os primeiros e últimos termos vemos o cancelamento (telescópico):
S_N=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right)+\left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{a+N}-\frac{1}{a+N+1}\right).
Quase todos os termos intermediários cancelam dois a dois; sobra apenas
S_N=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+N+1}.

Passo 4

Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando N\to\infty. Observamos que, para qualquer valor fixo de a,
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{a+N+1}=0,
porque o denominador tende a infinito em módulo quando N\to\infty. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+N+1}\right)=\frac{1}{a}-0=\frac{1}{a}.

Passo 5

Comentários finais e verificação rápida:
  • A demonstração por decomposição em frações parciais + soma telescópica é padrão e muito útil em provas — memorizá-la ajuda a resolver séries racionais rapidamente.
  • Repare que foi necessário garantir que nenhum denominador seja zero (por isso a\notin\{0,-1,-2,\dots\}). Para tais a a soma não está bem definida. Para qualquer outro a fixo, o termo \dfrac{1}{a+N+1} tende a zero e a soma converge para \dfrac{1}{a}.
  • Exemplo concreto: se a=1, então a soma é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(1+n)(2+n)}=1,
porque a fórmula dá \dfrac{1}{1}=1. Isto pode ser conferido somando os primeiros termos e observando o telescópio.

Resposta

\dfrac{1}{a}

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