Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a soma infinita
e pede para mostrar que essa soma vale
. Vou listar o que temos e o que precisamos:
- Informação dada: a expressão geral do termo é
para . - Pedido: provar que a soma infinita é igual a
. - Condições necessárias para a soma fazer sentido: nenhum denominador pode ser zero, portanto
não pode ser igual a . Nas contas que seguem vou supor que não é um inteiro não-positivo (isso evita termos indefinidos).
Não resolvo nada ainda aqui; só deixei claro o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Idéia principal que vamos usar: decomposição em fracções parciais que transforma cada termo numa diferença de dois termos mais simples — isto gera uma soma telescópica. Vamos decompor
como diferença de duas frações simples. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
obtemos
Agrupando termos em
(ou equivalentes) e comparando coeficientes, como o lado direito é linear em
mas o esquerdo é constante, os coeficientes de
devem se anular e a parte constante deve dar
. Uma maneira mais direta é avaliar em valores convenientes: substituir
(se permitido) e
dá rapidamente os valores de
e
. Fazendo isso (ou igualando coeficientes) obtém-se
Portanto
Passo 3
Agora que cada termo é uma diferença, somamos de
até
para formar a soma parcial
:
Escrevendo explicitamente os primeiros e últimos termos vemos o cancelamento (telescópico):
Quase todos os termos intermediários cancelam dois a dois; sobra apenas
Passo 4
Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando
. Observamos que, para qualquer valor fixo de
,
porque o denominador tende a infinito em módulo quando
. Assim
Passo 5
Comentários finais e verificação rápida:
- A demonstração por decomposição em frações parciais + soma telescópica é padrão e muito útil em provas — memorizá-la ajuda a resolver séries racionais rapidamente.
- Repare que foi necessário garantir que nenhum denominador seja zero (por isso
). Para tais a soma não está bem definida. Para qualquer outro fixo, o termo tende a zero e a soma converge para . - Exemplo concreto: se
, então a soma é
porque a fórmula dá
. Isto pode ser conferido somando os primeiros termos e observando o telescópio.