Determine expressōes para cada uma das seguintes derivadas em termos de grandezas facilmente medidas:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede explicitamente a expressão para a derivada
em termos de grandezas facilmente medidas.
Informações relevantes que temos do enunciado (e que podemos usar):
Informações relevantes que temos do enunciado (e que podemos usar):
- A incógnita é a derivada
. - Podemos expressar a resposta usando grandezas medidas em laboratório, como capacidade térmica à pressão constante
, entalpia , temperatura , volume , pressão , etc.
Nada mais é dado explicitamente; a resolução seguirá a partir das definições usuais de calor, entropia e capacidade térmica.
Passo 2
Vou lembrar uma definição fundamental que liga entropia e calor reversível: para uma transformação reversível infinitesimal temos a relação diferencial
Explicando bem: aqui
é a variação infinitesimal de entropia,
é a quantidade infinitesimal de calor trocada na transformação se ela for reversível, e
é a temperatura absoluta. Essa expressão diz que entropia mede calor “ponderado” por
.
Passo 3
Agora trago a definição de capacidade térmica à pressão constante, que é uma grandeza experimental e fácil de medir:
onde
é o calor trocado e a derivada é tomada mantendo
constante. Em palavras:
é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do sistema em 1 unidade quando a pressão é mantida constante. Em calorimetria você mede
diretamente aplicando calor e registrando a variação de temperatura a pressão constante.
Passo 4
Agora juntamos as duas ideias: se mantemos a pressão constante, a troca de calor reversível é
. Substituindo em
obtemos, para processo a pressão constante,
Isso significa que a variação infinitesimal de
com
a
constante é simplesmente
. Assim, matematicamente:
Passo 5
Vou explicar cada símbolo para que você não fique na dúvida na hora da prova:
-
é a derivada parcial da entropia em relação à temperatura, mantendo a pressão fixa. Isso é justamente o que a questão pediu. -
é a capacidade térmica à pressão constante (unidade usual J·K^{-1} por sistema ou J·K{-1}·mol{-1} por mol). É medida experimentalmente por calorimetria sob pressão constante. -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
A fórmulaé muito prática: basta medir e conhecer .
Passo 6
Uma observação útil na prova: às vezes o enunciado prefere escrever a resposta em termos da entalpia. Como
, podemos também escrever
Isso pode ser conveniente se você já tiver uma expressão para
.
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar: para 1 mol de gás ideal monoatômico temos
. Então
onde
é a constante dos gases. Isso mostra como aplicar a fórmula com números que você conhece.