Determine expressōes para cada uma das seguintes derivadas em termos de grandezas facilmente medidas:
(a) (\partial S / \partial T)_{p};

Passo 1

O enunciado pede explicitamente a expressão para a derivada \left(\partial S/\partial T\right)_{p} em termos de grandezas facilmente medidas.
Informações relevantes que temos do enunciado (e que podemos usar):
  • A incógnita é a derivada \left(\partial S/\partial T\right)_{p}.
  • Podemos expressar a resposta usando grandezas medidas em laboratório, como capacidade térmica à pressão constante C_{p}, entalpia H, temperatura T, volume V, pressão p, etc.
    Nada mais é dado explicitamente; a resolução seguirá a partir das definições usuais de calor, entropia e capacidade térmica.

Passo 2

Vou lembrar uma definição fundamental que liga entropia e calor reversível: para uma transformação reversível infinitesimal temos a relação diferencial
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Explicando bem: aqui dS é a variação infinitesimal de entropia, \delta Q_{\text{rev}} é a quantidade infinitesimal de calor trocada na transformação se ela for reversível, e T é a temperatura absoluta. Essa expressão diz que entropia mede calor “ponderado” por 1/T.

Passo 3

Agora trago a definição de capacidade térmica à pressão constante, que é uma grandeza experimental e fácil de medir:
C_{p}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{p} = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p},
onde \delta Q é o calor trocado e a derivada é tomada mantendo p constante. Em palavras: C_{p} é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura do sistema em 1 unidade quando a pressão é mantida constante. Em calorimetria você mede C_{p} diretamente aplicando calor e registrando a variação de temperatura a pressão constante.

Passo 4

Agora juntamos as duas ideias: se mantemos a pressão constante, a troca de calor reversível é \delta Q_{\text{rev}}=C_{p}\,dT. Substituindo em dS=\delta Q_{\text{rev}}/T obtemos, para processo a pressão constante,
dS=\frac{C_{p}\,dT}{T}.
Isso significa que a variação infinitesimal de S com T a p constante é simplesmente C_{p}/T. Assim, matematicamente:
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{C_{p}}{T}.

Passo 5

Vou explicar cada símbolo para que você não fique na dúvida na hora da prova:
  • \left(\partial S/\partial T\right)_{p} é a derivada parcial da entropia em relação à temperatura, mantendo a pressão fixa. Isso é justamente o que a questão pediu.
  • C_{p} é a capacidade térmica à pressão constante (unidade usual J·K^{-1} por sistema ou J·K{-1}·mol{-1} por mol). É medida experimentalmente por calorimetria sob pressão constante.
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
    A fórmula \left(\partial S/\partial T\right)_{p}=C_{p}/T é muito prática: basta medir C_{p} e conhecer T.

Passo 6

Uma observação útil na prova: às vezes o enunciado prefere escrever a resposta em termos da entalpia. Como C_{p}=(\partial H/\partial T)_{p}, podemos também escrever
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{1}{T}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{p}.
Isso pode ser conveniente se você já tiver uma expressão para H(T,p).

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar: para 1 mol de gás ideal monoatômico temos C_{p}=\tfrac{5}{2}R. Então
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{C_{p}}{T}=\frac{\tfrac{5}{2}R}{T}=\frac{5R}{2T},
onde R é a constante dos gases. Isso mostra como aplicar a fórmula com números que você conhece.

Resposta

\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{C_{p}}{T}

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