Para a reação da síntese da amônia em fase gasosa:
(a) Suponha um sistema que está em equilíbrio com 3 mol de \mathrm{N}_{2}, 1 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} e 1 mol de \mathrm{NH}_{3}. Se é adicionado 0,1 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2}, a T e P constantes, determine n\left(\mathrm{N}_{2}\right) e x\left(\mathrm{N}_{2}\right) na nova posição de equilíbrio. (Você pode usar a rotina Solver.)
Passo 1
O enunciado dá uma reação de síntese da amônia em fase gasosa:
As condições iniciais (no equilíbrio) são: n(\mathrm{N}_2)=3 mol, n(\mathrm{H}_2)=1 mol e n(\mathrm{NH}_3)=1 mol. Em seguida é adicionada 0,1 mol de \mathrm{N}_2 a T e P constantes.
Pergunta: determinar o número de mols n(\mathrm{N}_2) e a fração molar x(\mathrm{N}_2) na nova posição de equilíbrio (após o sistema reequilibrar).
Informações relevantes listadas:
Quantidades iniciais no equilíbrio: n_{\text{ini}}(\mathrm{N}_2)=3, n_{\text{ini}}(\mathrm{H}_2)=1, n_{\text{ini}}(\mathrm{NH}_3)=1.
Foi adicionada uma quantidade de \mathrm{N}_2: \Delta n(\mathrm{N}_2)=0,1 mol.
T e P permanecem constantes durante o processo.
Assumimos comportamento ideal dos gases e aplicamos o critério de equilíbrio através da constante de equilíbrio expressa por frações molares (já que T e P fixos permitem relacionar as constantes).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
Fração molar: para um componente i\), a fração molar é \(\displaystyle x_i=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}}\), onde \(n_{\text{tot}}\) é o número total de mols do sistema.
- Constante de equilíbrio (em termos de frações molares): para a reação dada, uma forma conveniente para trabalhar é a razão
\[K_x=\frac{x_{\mathrm{NH}_3}^2}{x_{\mathrm{N}_2}\,x_{\mathrm{H}_2}^3}.
Esse K_x é fixo para a temperatura dada (porque o sistema original estava em equilíbrio antes da adição).
Extensão da reação \varepsilon: é uma variável que mede quanto a reação anda no sentido direto (formando produtos). Para a estequiometria dada, ao avançar \varepsilon ao sentido direto, os mols variam assim:
Observação sobre o sinal: \varepsilon>0\] significa reação indo para a direita (mais \(\mathrm{NH}_3); \varepsilon<0 significa reação indo para a esquerda (mais reagentes).]
Passo 3
Calcular K_x a partir do equilíbrio inicial (antes da adição). Como foi informado que o sistema estava em equilíbrio com n(\mathrm{N}_2)=3, n(\mathrm{H}_2)=1, n(\mathrm{NH}_3)=1, temos:
Essa é a equação que nos dá a nova extensão \varepsilon. Ela é não-linear e não dá solução analítica simples — resolvemos numericamente.
Passo 6
Método numérico escolhido e justificativa: a equação é não-linear e envolve potências até o terceiro grau; o caminho prático em prova (ou em computador) é usar uma rotina numérica (por exemplo, Solver, método de Newton ou secante). Conforme o enunciado permitiu, usaremos uma rotina numérica para encontrar a raiz de F(\varepsilon). Para ajudar a convergência fazemos uma estimativa inicial por linearização:
Usamos a função logarítmica do quociente de reação:
e expandimos para pequenas variações em torno do estado imediatamente após a adição (\varepsilon pequeno). Calculando a inclinação em \varepsilon=0 (detalhe técnico: calcular \frac{d\ln Q_x}{d\varepsilon} usando n_i'(\varepsilon)) obtemos
(Explicação breve: cada termo vem de \frac{d}{d\varepsilon}\ln n_i = n_i'/n_i e do termo do denominador total; para quem for fazer passo a passo na prova, calcule cada razão n_i'/n_i com os valores em \varepsilon=0.)
No estado imediatamente após a adição (\varepsilon=0) o quociente de reação Q_x calculado com as frações molares de n(\mathrm{N}_2)=3,1, n(\mathrm{H}_2)=1, n(\mathrm{NH}_3)=1 dá Q_x\approx 8,3916. Como K_x\approx 8,3333, temos \ln(Q_x/K_x)\approx 0,00698. Pelo desenvolvimento linear, uma estimativa inicial para a raiz é
Usando esse valor como chute inicial e refinando com uma rotina numérica (por exemplo, Solver do Excel ou um método de Newton), obtemos a solução da equação F(\varepsilon)=0:
\varepsilon \approx -5,56\times 10^{-4}.
Interpretação rápida do sinal: \varepsilon<0 significa que, após a adição de \mathrm{N}_2, o equilíbrio deslocou-se levemente para a esquerda (consumiu um pouco de \mathrm{NH}_3 para formar reagentes). Pode parecer contra‑intuitivo à primeira vista, mas isso ocorre porque a adição altera as frações molares e o quociente instantâneo Q_x; a matemática do equilíbrio (e não apenas a regra bruta de “mais reagente → vai para produtos”) deve ser seguida.
Passo 7
Calcular as quantidades finais com a \varepsilon encontrada.