Para a reação da síntese da amônia em fase gasosa:
(a) Suponha um sistema que está em equilíbrio com 3 mol de \mathrm{N}_{2}, 1 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} e 1 mol de \mathrm{NH}_{3}. Se é adicionado 0,1 \mathrm{~mol} de \mathrm{N}_{2}, a T e P constantes, determine n\left(\mathrm{N}_{2}\right) e x\left(\mathrm{N}_{2}\right) na nova posição de equilíbrio. (Você pode usar a rotina Solver.)

Passo 1

O enunciado dá uma reação de síntese da amônia em fase gasosa:
\mathrm{N}_2 + 3\,\mathrm{H}_2 \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NH}_3.
As condições iniciais (no equilíbrio) são: n(\mathrm{N}_2)=3 mol, n(\mathrm{H}_2)=1 mol e n(\mathrm{NH}_3)=1 mol. Em seguida é adicionada 0,1 mol de \mathrm{N}_2 a T e P constantes.
Pergunta: determinar o número de mols n(\mathrm{N}_2) e a fração molar x(\mathrm{N}_2) na nova posição de equilíbrio (após o sistema reequilibrar).
Informações relevantes listadas:
  • Quantidades iniciais no equilíbrio: n_{\text{ini}}(\mathrm{N}_2)=3, n_{\text{ini}}(\mathrm{H}_2)=1, n_{\text{ini}}(\mathrm{NH}_3)=1.
  • Foi adicionada uma quantidade de \mathrm{N}_2: \Delta n(\mathrm{N}_2)=0,1 mol.
  • T e P permanecem constantes durante o processo.
  • Assumimos comportamento ideal dos gases e aplicamos o critério de equilíbrio através da constante de equilíbrio expressa por frações molares (já que T e P fixos permitem relacionar as constantes).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Fração molar: para um componente i\), a fração molar é \(\displaystyle x_i=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}}\), onde \(n_{\text{tot}}\) é o número total de mols do sistema. - Constante de equilíbrio (em termos de frações molares): para a reação dada, uma forma conveniente para trabalhar é a razão \[K_x=\frac{x_{\mathrm{NH}_3}^2}{x_{\mathrm{N}_2}\,x_{\mathrm{H}_2}^3}.
Esse K_x é fixo para a temperatura dada (porque o sistema original estava em equilíbrio antes da adição).
  • Extensão da reação \varepsilon: é uma variável que mede quanto a reação anda no sentido direto (formando produtos). Para a estequiometria dada, ao avançar \varepsilon ao sentido direto, os mols variam assim:
\begin{cases} \Delta n(\mathrm{N}_2)=-\varepsilon,\\[4pt] \Delta n(\mathrm{H}_2)=-3\varepsilon,\\[4pt] \Delta n(\mathrm{NH}_3)=+2\varepsilon. \end{cases}
Observação sobre o sinal: \varepsilon>0\] significa reação indo para a direita (mais \(\mathrm{NH}_3); \varepsilon<0 significa reação indo para a esquerda (mais reagentes).]

Passo 3

Calcular K_x a partir do equilíbrio inicial (antes da adição). Como foi informado que o sistema estava em equilíbrio com n(\mathrm{N}_2)=3, n(\mathrm{H}_2)=1, n(\mathrm{NH}_3)=1, temos:
n_{\text{tot,ini}}=3+1+1=5.
As frações molares iniciais são
x_{\mathrm{N}_2,\text{ini}}=\frac{3}{5}=0,6,\quad x_{\mathrm{H}_2,\text{ini}}=\frac{1}{5}=0,2,\quad x_{\mathrm{NH}_3,\text{ini}}=\frac{1}{5}=0,2.
Logo
K_x=\frac{x_{\mathrm{NH}_3,\text{ini}}^2}{x_{\mathrm{N}_2,\text{ini}}\,x_{\mathrm{H}_2,\text{ini}}^3} =\frac{(0,2)^2}{(0,6)\,(0,2)^3}.
Calculemos isso passo a passo:
(0,2)^2=0,04,\qquad (0,2)^3=0,008,\qquad (0,6)\cdot 0,008=0,0048.
Portanto
K_x=\frac{0,04}{0,0048}=\frac{25}{3}\approx 8,333333.

Passo 4

Descrever a situação logo após a adição (antes do reequilíbrio) e definir as incógnitas para o novo equilíbrio.
Logo após adicionar 0,1 mol de \mathrm{N}_2 temos, antes de qualquer deslocamento da reação:
n(\mathrm{N}_2)=3+0,1=3,1,\qquad n(\mathrm{H}_2)=1,\qquad n(\mathrm{NH}_3)=1,
e n_{\text{tot}}=5,1. O sistema não está mais em equilíbrio, e vai se deslocar até que a condição de equilíbrio com K_x se satisfaça.
Agora introduzimos a extensão \varepsilon. Após o novo equilíbrio:
\begin{aligned} n(\mathrm{N}_2)&=3,1-\varepsilon,\\[4pt] n(\mathrm{H}_2)&=1-3\varepsilon,\\[4pt] n(\mathrm{NH}_3)&=1+2\varepsilon,\\[4pt] n_{\text{tot}}&=5,1-2\varepsilon. \end{aligned}
As frações molares no novo equilíbrio serão
x_{\mathrm{N}_2}=\frac{3,1-\varepsilon}{5,1-2\varepsilon},\qquad x_{\mathrm{H}_2}=\frac{1-3\varepsilon}{5,1-2\varepsilon},\qquad x_{\mathrm{NH}_3}=\frac{1+2\varepsilon}{5,1-2\varepsilon}.]

Passo 5

Impor a condição de equilíbrio usando K_x. A equação é
\frac{x_{\mathrm{NH}_3}^2}{x_{\mathrm{N}_2}\,x_{\mathrm{H}_2}^3}=K_x.
Substituindo as expressões por n_i e simplificando os fatores comuns, obtemos (passo algébrico):
\frac{(1+2\varepsilon)^2}{(5,1-2\varepsilon)^2}\div\left(\frac{3,1-\varepsilon}{5,1-2\varepsilon}\cdot\frac{(1-3\varepsilon)^3}{(5,1-2\varepsilon)^3}\right)=K_x.
Cancelando as potências de (5,1-2\varepsilon) isso fica
\frac{(1+2\varepsilon)^2\,(5,1-2\varepsilon)^2}{(3,1-\varepsilon)\,(1-3\varepsilon)^3}=K_x.
Multiplicando ambos os lados por (3,1-\varepsilon)\,(1-3\varepsilon)^3 obtemos a equação não linear a resolver para \varepsilon:
F(\varepsilon)\equiv (1+2\varepsilon)^2\,(5,1-2\varepsilon)^2 - K_x\,(3,1-\varepsilon)\,(1-3\varepsilon)^3 = 0,
onde lembramos K_x=\dfrac{25}{3}.
Essa é a equação que nos dá a nova extensão \varepsilon. Ela é não-linear e não dá solução analítica simples — resolvemos numericamente.

Passo 6

Método numérico escolhido e justificativa: a equação é não-linear e envolve potências até o terceiro grau; o caminho prático em prova (ou em computador) é usar uma rotina numérica (por exemplo, Solver, método de Newton ou secante). Conforme o enunciado permitiu, usaremos uma rotina numérica para encontrar a raiz de F(\varepsilon). Para ajudar a convergência fazemos uma estimativa inicial por linearização:
Usamos a função logarítmica do quociente de reação:
\ln Q_x = 2\ln x_{\mathrm{NH}_3} - \ln x_{\mathrm{N}_2} -3\ln x_{\mathrm{H}_2},
e expandimos para pequenas variações em torno do estado imediatamente após a adição ( \varepsilon pequeno). Calculando a inclinação em \varepsilon=0 (detalhe técnico: calcular \frac{d\ln Q_x}{d\varepsilon} usando n_i'(\varepsilon)) obtemos
\left.\frac{d\ln Q_x}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0} =2\frac{2}{1}-\frac{-1}{3,1}-3\frac{-3}{1}+2\frac{-2}{5,1}\approx 12,5383.
(Explicação breve: cada termo vem de \frac{d}{d\varepsilon}\ln n_i = n_i'/n_i e do termo do denominador total; para quem for fazer passo a passo na prova, calcule cada razão n_i'/n_i com os valores em \varepsilon=0.)
No estado imediatamente após a adição ( \varepsilon=0) o quociente de reação Q_x calculado com as frações molares de n(\mathrm{N}_2)=3,1, n(\mathrm{H}_2)=1, n(\mathrm{NH}_3)=1 Q_x\approx 8,3916. Como K_x\approx 8,3333, temos \ln(Q_x/K_x)\approx 0,00698. Pelo desenvolvimento linear, uma estimativa inicial para a raiz é
\varepsilon \approx -\frac{\ln(Q_x/K_x)}{\left.\dfrac{d\ln Q_x}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}} \approx -\frac{0,00698}{12,5383}\approx -5,57\times 10^{-4}.
Usando esse valor como chute inicial e refinando com uma rotina numérica (por exemplo, Solver do Excel ou um método de Newton), obtemos a solução da equação F(\varepsilon)=0:
\varepsilon \approx -5,56\times 10^{-4}.
Interpretação rápida do sinal: \varepsilon<0 significa que, após a adição de \mathrm{N}_2, o equilíbrio deslocou-se levemente para a esquerda (consumiu um pouco de \mathrm{NH}_3 para formar reagentes). Pode parecer contra‑intuitivo à primeira vista, mas isso ocorre porque a adição altera as frações molares e o quociente instantâneo Q_x; a matemática do equilíbrio (e não apenas a regra bruta de “mais reagente → vai para produtos”) deve ser seguida.

Passo 7

Calcular as quantidades finais com a \varepsilon encontrada.
Com \varepsilon\approx -5,56\times 10^{-4} temos:
\begin{aligned} n(\mathrm{N}_2)&=3,1-\varepsilon=3,1-(-5,56\times 10^{-4})\approx 3,100556,\\[4pt] n_{\text{tot}}&=5,1-2\varepsilon=5,1-2(-5,56\times 10^{-4})\approx 5,101112. \end{aligned}
A fração molar de \mathrm{N}_2 na nova posição de equilíbrio é
x(\mathrm{N}_2)=\frac{n(\mathrm{N}_2)}{n_{\text{tot}}} \approx\frac{3,100556}{5,101112}\approx 0,60782.
Numeração arredondada com precisão razoável para prova:
n(\mathrm{N}_2)\approx 3,10056\\ \text{mol},\qquad x(\mathrm{N}_2)\approx 0,60782.]

Resposta

n(\mathrm{N}_2)=3,10056\\ \text{mol}
x(\mathrm{N}_2)=0,60782

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