Para a reação da síntese da amônia em fase gasosa:
(b) Suponha que o sistema está em equilibrio com 2 mol de \mathrm{N}_{2}, 4 \mathrm{~mol} de \mathrm{H}_{2} e 4 mol de \mathrm{NH}_{3}. Se adicionarmos 10 mol de \mathrm{N}_{2}, a T e P constantes, determine n\left(\mathrm{N}_{2}\right) e x\left(\mathrm{N}_{2}\right) na nova posição de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá a reação da síntese da amônia em fase gasosa e pede, após uma perturbação (adição de \mathrm{N}_2), a nova quantidade (n) e a nova fração molar ( x) de \mathrm{N}_2 no equilíbrio, mantendo T e P constantes. Dados fornecidos inicialmente no equilíbrio: \,2 mol de \mathrm{N}_2, \,4 mol de \mathrm{H}_2 e \,4 mol de \mathrm{NH}_3. Em seguida adicionamos 10 mol de \mathrm{N}_2 T e P constantes) e o sistema volta a um novo equilíbrio. Perguntas claras: calcular
n(\mathrm{N}_2) na nova posição de equilíbrio e x(\mathrm{N}_2) (fração molar) na nova posição de equilíbrio. Informações relevantes listadas: as quantidades iniciais, a adição de 10 mol de \mathrm{N}_2, e a condição T e P constantes (essencial para relacionar constantes de equilíbrio via frações molares).

Passo 2

Relembre o que precisamos usar (aula curta e prática).
A reação é
\mathrm{N}_2 + 3\mathrm{H}_2 \rightleftharpoons 2\mathrm{NH}_3.
Para gases, a constante de equilíbrio em termos de pressões parciais é
K_p=\frac{P_{\mathrm{NH}_3}^2}{P_{\mathrm{N}_2}\,P_{\mathrm{H}_2}^3}.
Como a temperatura T e a pressão total P são mantidas constantes entre os dois equilíbrios, é útil trabalhar com a combinação que envolve frações molares y_i. Lembre que P_i = y_i P, então
K_p=\frac{(y_{\mathrm{NH}_3}P)^2}{(y_{\mathrm{N}_2}P)(y_{\mathrm{H}_2}P)^3} =\frac{y_{\mathrm{NH}_3}^2}{y_{\mathrm{N}_2}\,y_{\mathrm{H}_2}^3}\;P^{\,2-1-3} =\frac{y_{\mathrm{NH}_3}^2}{y_{\mathrm{N}_2}\,y_{\mathrm{H}_2}^3}\;P^{-2}.
Como P é constante, a quantidade
K' \equiv \frac{y_{\mathrm{NH}_3}^2}{y_{\mathrm{N}_2}\,y_{\mathrm{H}_2}^3}
é a mesma antes e depois da adição. Então podemos determinar K' a partir do equilíbrio inicial (antes da adição) e usar essa igualdade para achar a nova posição de equilíbrio.

Passo 3

Calcule K' a partir do equilíbrio inicial. Inicialmente há 2 mol \mathrm{N}_2, 4 mol \mathrm{H}_2, 4 mol \mathrm{NH}_3. O total inicial é 2+4+4=10 mol. As frações molares iniciais são
y_{\mathrm{N}_2}^{(i)}=\frac{2}{10}=0{,}2,\qquad y_{\mathrm{H}_2}^{(i)}=\frac{4}{10}=0{,}4,\qquad y_{\mathrm{NH}_3}^{(i)}=\frac{4}{10}=0{,}4.
Logo
K'=\frac{(y_{\mathrm{NH}_3}^{(i)})^2}{y_{\mathrm{N}_2}^{(i)}(y_{\mathrm{H}_2}^{(i)})^3} =\frac{0{,}4^2}{0{,}2\cdot 0{,}4^3} =\frac{0{,}16}{0{,}2\cdot 0{,}064} =\frac{0{,}16}{0{,}0128}=12{,}5.
Portanto o valor que deve permanecer igual após a adição é K'=12{,}5.

Passo 4

Agora descrevemos o sistema imediatamente após a adição e a mudança até o novo equilíbrio usando a extensão de reação \xi (a quantidade de \mathrm{N}_2 reagida no sentido de formar \mathrm{NH}_3). Após adicionar 10 mol de \mathrm{N}_2 passamos a ter, antes de qualquer reação, \,12 mol \mathrm{N}_2, \,4 mol \mathrm{H}_2 e \,4 mol \mathrm{NH}_3; então durante o avanço da reação para a direita (consumindo reagentes) as variações são, por estecho:
\begin{array}{l} \mathrm{N}_2:\quad 12 - \xi,\\[4pt] \mathrm{H}_2:\quad 4 - 3\xi,\\[4pt] \mathrm{NH}_3:\quad 4 + 2\xi. \end{array}
O total de mols no novo equilíbrio é
n_{\text{tot}}= (12- \xi) + (4-3\xi) + (4+2\xi)=20 - 2\xi.
As frações molares no novo equilíbrio são
y_{\mathrm{N}_2}=\frac{12-\xi}{20-2\xi},\qquad y_{\mathrm{H}_2}=\frac{4-3\xi}{20-2\xi},\qquad y_{\mathrm{NH}_3}=\frac{4+2\xi}{20-2\xi}.]

Passo 5

Imponha a condição de equilíbrio K' = 12{,}5 usando as frações molares do passo anterior. Escrevemos
\frac{y_{\mathrm{NH}_3}^2}{y_{\mathrm{N}_2}\,y_{\mathrm{H}_2}^3} =\frac{\big(\dfrac{4+2\xi}{20-2\xi}\big)^2}{\big(\dfrac{12-\xi}{20-2\xi}\big)\big(\dfrac{4-3\xi}{20-2\xi}\big)^3}=12{,}5.
Simplificando os fatores (20-2\xi) (faça alongado para entender), obtemos
\frac{(4+2\xi)^2(20-2\xi)^2}{(12-\xi)(4-3\xi)^3}=12{,}5.
Fatorando 2 onde convém (para números menores) temos
\frac{16(2+\xi)^2(10-\xi)^2}{(12-\xi)(4-3\xi)^3}=12{,}5.
Multiplicando ambos os lados por (12-\xi)(4-3\xi)^3 e dividindo por 1 para clareza, obtemos uma equação em \xi que é não-linear. Resolver analiticamente é trabalhoso (polinômio de grau elevado), então aqui vamos resolver numericamente de maneira controlada — mas mostrando raciocínio simples que você pode fazer com uma calculadora de bolso em prova: testar valores de \xi dentro do intervalo fisicamente possível e refinar a aproximação.
Observação prática: \xi tem limite superior pelo reagente que pode se esgotar — aqui \mathrm{H}_2 não pode ficar negativo, logo 4-3\xi\ge 0\Rightarrow \xi\le\frac{4}{3}\approx1{,}333. Também sabemos que antes da reação (logo após a adição, \xi=0) o valor da expressão é
\frac{0{,}2^2}{0{,}6\cdot 0{,}2^3}=8{,}333<12{,}5,
logo a reação deve avançar ( \xi>0) para aumentar essa razão até 12{,}5.

Passo 6

Resolução numérica por tentativa refinada (metodologia que dá pra usar sem derivadas em prova):
Testes rápidos:
  • Para \xi=0{,}1 calculamos as frações molares e a razão e obtemos aproximadamente K'\approx 11{,}49 (ainda menor que 12{,}5).
  • Para \xi=0{,}13 obtemos K'\approx 12{,}69 (agora maior que 12{,}5).
    Portanto a solução está entre 0{,}1 e 0{,}13. Refinando:
  • Para \xi=0{,}125 obtemos K'\approx 12{,}46 (ligeiramente menor que 12{,}5).
  • Para \xi=0{,}126 obtemos K'\approx 12{,}52 (ligeiramente maior que 12{,}5).
Fazendo uma interpolação linear simples entre \xi=0{,}125 e \xi=0{,}126 (visto que a função varia suavemente), estimamos a raiz por
\xi \approx 0{,}125 + \frac{12{,}5-12{,}46}{12{,}52-12{,}46}\times(0{,}126-0{,}125) \approx 0{,}12567.
Arredondando com razoável precisão prática, podemos usar \xi\approx 0{,}1257 mol.

Passo 7

Calcule agora as quantidades pedidas com esse \xi. A quantidade de \mathrm{N}_2 no novo equilíbrio é
n(\mathrm{N}_2)=12-\xi \approx 12-0{,}1257 \approx 11{,}8743\\ \text{mol}.
A fração molar de \mathrm{N}_2 é
x(\mathrm{N}_2)=y_{\mathrm{N}_2}=\frac{12-\xi}{20-2\xi} =\frac{11{,}8743}{20-2(0{,}1257)}=\frac{11{,}8743}{19{,}7486}\approx 0{,}6011.
Eu vou arredondar as respostas a três casas decimais significativas razoáveis para uso em prova: n(\mathrm{N}_2)\approx 11{,}874 mol e x(\mathrm{N}_2)\approx 0{,}601.

Resposta

n(\mathrm{N}_2)\approx 11{,}874\\ \text{mol}\n
x(\mathrm{N}_2)\approx 0{,}601

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