Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
f(z)=arccosech z

Passo 1

O enunciado pede a expressão explícita da função inversa da cossecante hiperbólica, isto é
f(z)=arccosechz.
O conteúdo aqui é inversão de função hiperbólica: vamos partir de cosech(w)=z e resolver para w.

Passo 2

Começamos pela definição de cosecante hiperbólica:
cosech(w)=1sinh(w)=z
Dessa igualdade segue
sinh(w)=1z

Passo 3

Sabemos que a função inversa de sinh é a arcsinh, cuja forma explícita é
arcsinh(x)=ln!l(x+raizx^2+1r)
Como sinh(w)=1/z, temos
w=arcsinh!l(tfrac1zr) =ln!l(tfrac1z+raiztfrac1z^2+1r)

Passo 4

Para simplificar, note que
raiztfrac1z^2+1 =raiz1+z^2z^2 =raiz1+z^2z
Logo o argumento do logaritmo se torna
1z+raiz1+z^2z =1+raiz1+z^2z
Assim obtemos a forma final de f(z).

Resposta

boxed,arccosechz =ln!l(1+raiz1+z^2zr),

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