Responda os itens a seguir
(2) Os vetores (1,1,0),(2,0,1) e (2,-1,1) formam uma base do R^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores (1,1,0), (2,0,1) e (2,-1,1) formam uma base de R^3. O conteúdo envolve testar se três vetores em R^3 são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se formam sistema gerador). Para isso, podemos calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores.

Passo 2

Vamos montar a matriz A em que cada coluna é um dos vetores dados. Assim,
A = 1 & 2 & 2 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1
Se det(A)neq 0, então os vetores são linearmente independentes e, em R^3, isso já garante que formam base.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando desenvolvimento pela primeira linha, temos
det(A) = 1 cdot det!0 & -11 & 1 - 2 cdot det!1 & -10 & 1 + 2 cdot det!1 & 00 & 1

Passo 4

Agora calculamos cada menor:
det!0 & -11 & 1 = 0cdot1 - (-1)cdot1 = 1,
det!1 & -10 & 1 = 1cdot1 - (-1)cdot0 = 1,
det!1 & 00 & 1 = 1cdot1 - 0cdot0 = 1
Substituindo em det(A),
det(A) = 1cdot1 - 2cdot1 + 2cdot1 = 1 - 2 + 2 = 1

Passo 5

Como det(A)=1neq 0, concluímos que os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, eles formam uma base de R^3.

Resposta

Sim, eles formam uma base de R^3, pois o determinante da matriz formada por esses vetores é 1neq0, o que garante independência linear.

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