Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para obter uma fórmula fechada para
,
isto é, inverter a função hiperbólica
.
O conteúdo envolvido é a definição de
em termos de exponenciais e a resolução algébrica para
isto é, inverter a função hiperbólica
O conteúdo envolvido é a definição de
em termos de exponenciais e a resolução algébrica para
em função de
.
Passo 2
Começamos lembrando que, por definição,
é dado por
é dado por
Para encontrar
em função de
,
fazemos
fazemos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
,
temos
temos
Reagrupando os termos em
,
ficamos com
ficamos com
Passo 4
Isolamos
e, em seguida, extraímos o logaritmo:
Passo 5
Como
é justamente o valor de
é justamente o valor de
que satisfaz
,
concluímos que
concluímos que
válido para
e escolhendo o ramo principal do logaritmo.
e escolhendo o ramo principal do logaritmo.