Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
f(z)=arccoth z

Passo 1

O enunciado pede para obter uma fórmula fechada para
f(z)=arccothz,
isto é, inverter a função hiperbólica
coth w.
O conteúdo envolvido é a definição de
coth w
em termos de exponenciais e a resolução algébrica para
w
em função de
z.

Passo 2

Começamos lembrando que, por definição,
coth w
é dado por
coth w = e^w + e^-we^w - e^-w =e^2w+1e^2w-1
Para encontrar
w
em função de
z,
fazemos
z = coth w =e^2w+1e^2w-1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
l(e^2w-1r),
temos
zl(e^2w-1r)=e^2w+1 Longrightarrow z,e^2w-z=e^2w+1
Reagrupando os termos em
e^2w,
ficamos com
z,e^2w-e^2w=z+1 Longrightarrow (z-1),e^2w=z+1

Passo 4

Isolamos
e^2w
e, em seguida, extraímos o logaritmo:
e^2w=z+1z-1 Longrightarrow 2w=ln!l(z+1z-1r) Longrightarrow w=12ln!l(z+1z-1r)

Passo 5

Como
arccothz
é justamente o valor de
w
que satisfaz
coth w=z,
concluímos que
arccothz =12,ln!l(z+1z-1r),
válido para
zneqpm1
e escolhendo o ramo principal do logaritmo.

Resposta

f(z)=arccothz =12,ln!l(z+1z-1r)

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