Determine os extremantes locais da função
f(x, y)=e^{4 y-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se determinar os extremantes locais da função
f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
  • Informação importante: a função é uma exponencial de uma expressão quadrática. A exponencial é sempre positiva: para todo (x,y), f(x,y)>0.
  • Objetivo imediato: encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou sela).

Passo 2

Como vamos encontrar pontos críticos (aula rápida sobre gradiente):
  • Para funções de duas variáveis, um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente, isto é, quando
\frac{\partial f}{\partial x}=0\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}=0.
  • Cálculo das derivadas parciais: usar regra da cadeia, lembrando que \frac{d}{du}e^{u}=e^{u} e que multiplicamos pela derivada do expoente.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr) = (-2x)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr) = (4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0:
  • Como e^{4y-x^{2}-y^{2}}>0 para todo (x,y), podemos dividir por essa quantidade sem perder soluções. Assim as equações reduzem a
-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=0,
4-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=2.
  • Portanto há um único ponto crítico: (0,2).

Passo 4

Como classificar o ponto crítico? (aula rápida sobre o teste da derivada segunda para duas variáveis):
  • Definir as segundas derivadas parciais
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Monta-se o discriminante (determinante da Hessiana)
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
  • Regras de classificação no ponto crítico (x_{0},y_{0}):
    • Se D(x_{0},y_{0})>0 e f_{xx}(x_{0},y_{0})>0 então mínimo local.
    • Se D(x_{0},y_{0})>0 e f_{xx}(x_{0},y_{0})<0 então máximo local.
    • Se D(x_{0},y_{0})<0 então ponto de sela.
    • Se D(x_{0},y_{0})=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas explicitamente (mostrando passos):
Partimos de f_{x}=-2x\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}. Derivando em x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}) = -2\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} + (-2x)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr).
Mas \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr) = -2x\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}. Substituindo:
f_{xx} = -2\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} + (-2x)(-2x)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} = \bigl(-2+4x^{2}\bigr)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
Agora partimos de f_{y}=(4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}. Derivando em y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr) = -2\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} + (4-2y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr).
E \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr)=(4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}. Logo
f_{yy} = -2\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} + (4-2y)^{2}\,e^{4y-x^{2}-y^{2}} = \bigl(-2+(4-2y)^{2}\bigr)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
A derivada mista:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{x}\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr) = -2x\cdot(4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico (0,2) e aplicar o teste:
  • Primeiro calcular f(0,2) para referência:
f(0,2)=e^{4\cdot 2 - 0^{2} - 2^{2}} = e^{8-4}=e^{4}.
  • Agora as segundas derivadas em (0,2):
f_{xx}(0,2)=\bigl(-2+4\cdot 0^{2}\bigr)\,e^{4} = -2\,e^{4}.
f_{yy}(0,2)=\bigl(-2+(4-2\cdot 2)^{2}\bigr)\,e^{4} = \bigl(-2+0^{2}\bigr)\,e^{4} = -2\,e^{4}.
f_{xy}(0,2)= -2\cdot 0\cdot(4-2\cdot 2)\,e^{4}=0.
  • Determinante da Hessiana em (0,2):
D(0,2)=f_{xx}(0,2)\,f_{yy}(0,2)-\bigl(f_{xy}(0,2)\bigr)^{2} = (-2e^{4})(-2e^{4})-0 = 4e^{8}>0.
  • Como D(0,2)>0 e f_{xx}(0,2)=-2e^{4}<0, pelo teste a conclusão é: (0,2) é um ponto de máximo local.

Passo 7

Observação extra (intuição e nota sobre máximo global):
  • Podemos reescrever o expoente completando o quadrado para ver que o máximo é global:
4y-x^{2}-y^{2} = 4 - x^{2} - (y-2)^{2},
portanto
f(x,y)=e^{4}\,e^{-x^{2}-(y-2)^{2}} \le e^{4},
com igualdade somente quando x=0 e y=2. Assim o ponto (0,2) é não só máximo local como também máximo global, com valor f(0,2)=e^{4}. (Isso é um bônus; a classificação local já foi feita pelo teste das derivadas segundas.)

Resposta

Ponto crítico (0,2): máximo local (e máximo global) com valor f(0,2)=e^{4}.

Exercícios relacionados