Determine os extremantes locais da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se determinar os extremantes locais da função
- Informação importante: a função é uma exponencial de uma expressão quadrática. A exponencial é sempre positiva: para todo
, . - Objetivo imediato: encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou sela).
Passo 2
Como vamos encontrar pontos críticos (aula rápida sobre gradiente):
- Para funções de duas variáveis, um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente, isto é, quando
- Cálculo das derivadas parciais: usar regra da cadeia, lembrando que
e que multiplicamos pela derivada do expoente.
Calculemos
e
. Pela regra da cadeia,
Passo 3
Resolver o sistema
:
- Como
para todo , podemos dividir por essa quantidade sem perder soluções. Assim as equações reduzem a
- Portanto há um único ponto crítico:
.
Passo 4
Como classificar o ponto crítico? (aula rápida sobre o teste da derivada segunda para duas variáveis):
- Definir as segundas derivadas parciais
- Monta-se o discriminante (determinante da Hessiana)
- Regras de classificação no ponto crítico
: - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Passo 5
Calcular as segundas derivadas explicitamente (mostrando passos):
Partimos de . Derivando em
:
Partimos de
Mas
. Substituindo:
Agora partimos de
. Derivando em
:
E
. Logo
A derivada mista:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico
e aplicar o teste:
- Primeiro calcular
para referência:
- Agora as segundas derivadas em
:
- Determinante da Hessiana em
:
- Como
e , pelo teste a conclusão é: é um ponto de máximo local.
Passo 7
Observação extra (intuição e nota sobre máximo global):
- Podemos reescrever o expoente completando o quadrado para ver que o máximo é global:
portanto
com igualdade somente quando
e
. Assim o ponto
é não só máximo local como também máximo global, com valor
. (Isso é um bônus; a classificação local já foi feita pelo teste das derivadas segundas.)
Resposta
Ponto crítico
: máximo local (e máximo global) com valor
.