a) \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2(y-1)} \quad y(0)=-1 \
3 x^{2}+4 x+2 d x=2(y-1) d y \
\int 3 x^{2}+4 x+2 d x=\int 2 y-2 d y \
3 x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2} \
x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2}
3 x^{2}+4 x+2 d x=2(y-1) d y \
\int 3 x^{2}+4 x+2 d x=\int 2 y-2 d y \
3 x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2} \
x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede (implicitamente) é obter a solução
que satisfaz essa equação e a condição inicial, ou seja, resolver o problema de valor inicial.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está dada em forma explícita para
. - A condição inicial é
. - Note que o denominador
não pode ser zero durante a separação de variáveis (portanto é preciso observar onde ).
Passo 2
Estratégia imediata: separar variáveis (colocar todos os termos em
com
e todos os termos em
com
) porque a equação pode ser escrita como produto de função de
por
igual a função de
por
.
Começo da separação:
Multiplicando ambos os lados por
(válido enquanto
):
Passo 3
Agora integramos ambos os lados: a integral indefinida do lado esquerdo em
e do lado direito em
:
Vou calcular cada integral passo a passo.
Para o lado esquerdo:
Expliquei: usei a regra
e
, depois multipliquei por
.
Para o lado direito:
Cada termo:
Somando:
onde
é a constante de integração (combinei as constantes de ambos os lados em uma só).
Portanto, a igualdade integrada é
Passo 4
Agora aplico a condição inicial
para determinar a constante
.
Substituindo
e
na expressão integrada:
Calculando os lados:
Assim a relação entre
e
que satisfaz a condição inicial é
Passo 5
Isolando
temos uma equação quadrática em
. Coloco tudo no lado esquerdo para reconhecê-la:
Isto é uma equação do tipo
, com
.
Para resolver em
uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
.
Aplicando:
Passo 6
Simplifico o discriminante:
Portanto a raiz quadrada é
Substituindo na fórmula:
Então existem duas expressões formais:
Passo 7
Agora uso a condição inicial para escolher o sinal correto. Para
temos:
As duas possibilidades dão
(com
) ou
(com
). A condição inicial é
, então escolhemos o sinal menos.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Precisamos verificar o domínio onde a solução faz sentido e onde a separação de variáveis foi válida.
Do radical, é necessário que o argumento seja não negativo:
Fatoro o polinômio para entender melhor. Note que
é raiz porque
Fazendo a divisão, obtém-se
Como
para todo
, o sinal do polinômio é o sinal de
. Logo:
Entretanto, ao separar as variáveis usamos
no denominador, então
não pode ser
em pontos onde queremos que a equação original seja válida. A solução escolhida dá
portanto
exatamente quando
, ou seja quando
. Em
o lado direito da equação original tem denominador zero, então o ponto
é singular para a equação diferencial original e não pertence ao intervalo de existência da solução obtida pela separação.
Como a condição inicial
fica em um intervalo onde
, o maior intervalo em que a solução é válida e contém
é
Passo 9
Resumo final e observações práticas (do tipo “como usar isso na prova”):
- Separe
e e integre ambos os lados; atenção às constantes de integração: combine-as em uma só. - Use a condição inicial para determinar a constante e escolher o ramo (sinal) da solução quadrática.
- Verifique o domínio exigido pelo radical e evite pontos onde o denominador original seria zero (aqui
, que ocorre em ). - Sempre declare o intervalo de existência que contém a condição inicial (aqui
).