a) \frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2(y-1)} \quad y(0)=-1 \
3 x^{2}+4 x+2 d x=2(y-1) d y \
\int 3 x^{2}+4 x+2 d x=\int 2 y-2 d y \
3 x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2} \
x^{3}+2 x^{2}+2 x+C_{1}=y^{2}-2 y+C_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)},\qquad y(0)=-1.
O que se pede (implicitamente) é obter a solução y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial, ou seja, resolver o problema de valor inicial.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está dada em forma explícita para \dfrac{dy}{dx}.
  • A condição inicial é y(0)=-1.
  • Note que o denominador 2(y-1) não pode ser zero durante a separação de variáveis (portanto é preciso observar onde y=1).

Passo 2

Estratégia imediata: separar variáveis (colocar todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx) porque a equação pode ser escrita como produto de função de y por dy igual a função de x por dx.
Começo da separação:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2(y-1)}
Multiplicando ambos os lados por 2(y-1)\,dx (válido enquanto y\neq1):
2(y-1)\,dy=(3x^{2}+4x+2)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados: a integral indefinida do lado esquerdo em y e do lado direito em x:
\int 2(y-1)\,dy = \int (3x^{2}+4x+2)\,dx.
Vou calcular cada integral passo a passo.
Para o lado esquerdo:
\int 2(y-1)\,dy = 2\int (y-1)\,dy = 2\left(\frac{y^{2}}{2}-y\right)=y^{2}-2y.
Expliquei: usei a regra \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2} e \int 1\,dy = y, depois multipliquei por 2.
Para o lado direito:
\int (3x^{2}+4x+2)\,dx = \int 3x^{2}\,dx + \int 4x\,dx + \int 2\,dx.
Cada termo:
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}, \qquad \int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}, \qquad \int 2\,dx = 2x.
Somando:
\int (3x^{2}+4x+2)\,dx = x^{3}+2x^{2}+2x + C,
onde C é a constante de integração (combinei as constantes de ambos os lados em uma só).
Portanto, a igualdade integrada é
y^{2}-2y = x^{3}+2x^{2}+2x + C.

Passo 4

Agora aplico a condição inicial y(0)=-1 para determinar a constante C.
Substituindo x=0 e y=-1 na expressão integrada:
(-1)^{2}-2(-1) = 0^{3}+2\cdot0^{2}+2\cdot0 + C.
Calculando os lados:
1+2 = C \quad\Rightarrow\quad C=3.
Assim a relação entre y e x que satisfaz a condição inicial é
y^{2}-2y = x^{3}+2x^{2}+2x + 3.

Passo 5

Isolando y temos uma equação quadrática em y. Coloco tudo no lado esquerdo para reconhecê-la:
y^{2}-2y - \bigl(x^{3}+2x^{2}+2x+3\bigr)=0.
Isto é uma equação do tipo y^{2}-2y - A(x)=0, com A(x)=x^{3}+2x^{2}+2x+3.
Para resolver em y uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \alpha y^{2}+\beta y+\gamma=0, as raízes são
y=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
Aqui \alpha=1, \beta=-2, \gamma=-(x^{3}+2x^{2}+2x+3).
Aplicando:
y=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot\bigl(-\!(x^{3}+2x^{2}+2x+3)\bigr)}}{2\cdot1} =\frac{2\pm\sqrt{4+4\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x+3\bigr)}}{2}.

Passo 6

Simplifico o discriminante:
4+4\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x+3\bigr)=4\bigl(1+x^{3}+2x^{2}+2x+3\bigr)=4\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x+4\bigr).
Portanto a raiz quadrada é
\sqrt{4\bigl(x^{3}+2x^{2}+2x+4\bigr)}=2\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}.
Substituindo na fórmula:
y=\frac{2\pm 2\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}}{2}=1\pm\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}.
Então existem duas expressões formais:
y(x)=1+\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4} \quad\text{ou}\quad y(x)=1-\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}.

Passo 7

Agora uso a condição inicial para escolher o sinal correto. Para x=0 temos:
y(0)=1\pm\sqrt{0+0+0+4}=1\pm 2.
As duas possibilidades dão y(0)=3 (com +) ou y(0)=-1 (com -). A condição inicial é y(0)=-1, então escolhemos o sinal menos.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=1-\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}.

Passo 8

Precisamos verificar o domínio onde a solução faz sentido e onde a separação de variáveis foi válida.
Do radical, é necessário que o argumento seja não negativo:
x^{3}+2x^{2}+2x+4 \ge 0.
Fatoro o polinômio para entender melhor. Note que x=-2 é raiz porque
(-2)^{3}+2(-2)^{2}+2(-2)+4=-8+8-4+4=0.
Fazendo a divisão, obtém-se
x^{3}+2x^{2}+2x+4=(x+2)(x^{2}+2).
Como x^{2}+2>0 para todo x, o sinal do polinômio é o sinal de (x+2). Logo:
x^{3}+2x^{2}+2x+4 \ge 0 \iff x\ge -2.
Entretanto, ao separar as variáveis usamos 2(y-1) no denominador, então y não pode ser 1 em pontos onde queremos que a equação original seja válida. A solução escolhida dá
y(x)=1-\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4},
portanto y(x)=1 exatamente quando \sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4}=0, ou seja quando x=-2. Em x=-2 o lado direito da equação original tem denominador zero, então o ponto x=-2 é singular para a equação diferencial original e não pertence ao intervalo de existência da solução obtida pela separação.
Como a condição inicial x=0 fica em um intervalo onde x>-2, o maior intervalo em que a solução é válida e contém x=0 é
(-2,\,+\infty).

Passo 9

Resumo final e observações práticas (do tipo “como usar isso na prova”):
  • Separe y e x e integre ambos os lados; atenção às constantes de integração: combine-as em uma só.
  • Use a condição inicial para determinar a constante e escolher o ramo (sinal) da solução quadrática.
  • Verifique o domínio exigido pelo radical e evite pontos onde o denominador original seria zero (aqui y=1, que ocorre em x=-2).
  • Sempre declare o intervalo de existência que contém a condição inicial (aqui (-2,\infty)).

Resposta

\displaystyle y(x)=1-\sqrt{x^{3}+2x^{2}+2x+4},\quad x\in(-2,\infty)

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