Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=\dfrac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}, definida quando x^{6}+y^{4}\neq0. Para o limite precisamos estudar o comportamento dessa expressão quando (x,y) tende a (0,0).
O ponto de interesse é (0,0).
O que precisamos responder: determinar se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do raciocínio que vou usar).
Quando lidamos com limites em várias variáveis, uma técnica poderosa é comparar a função com algo que converge para zero (teorema do confronto / squeeze). Para isso é útil expressar as quantidades em termos de uma “medida de distância” ao ponto (0,0). Aqui aparecem potências diferentes de x e y: x^{6} e y^{4} no denominador, e x^{9}y no numerador. Uma boa escolha é definir
r^{2}:=x^{6}+y^{4},
ou seja, r=\sqrt{x^{6}+y^{4}}. Note que se (x,y)\to(0,0) então r\to0. Vou usar r para comparar as potências de x e y com r e então aplicar o teorema do confronto.
Pequena lembrança (didática): o teorema do confronto em várias variáveis diz que se |g(x,y)|\le h(x,y) em alguma vizinhança de (0,0) e h(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), então g(x,y)\to0. Aqui vamos construir uma desigualdade do tipo |f(x,y)|\le algo que tende a 0.
Passo 3
Relacionando x, y e r.
Definimos \;r=\sqrt{x^{6}+y^{4}}, logo \;r^{2}=x^{6}+y^{4}.
y^{4}\le x^{6}+y^{4}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\sqrt{y^{4}}\le r.
Da última desigualdade segue
|y|=\sqrt{y^{2}}\le \sqrt{r}=r^{1/2}.
Resumindo:
|x|^{3}\le r \quad\text{e}\quad |y|\le r^{1/2}.
(Explicação: usamos que x^{6} e y^{4} são não-negativos, que \sqrt{\cdot} preserva a desigualdade para não-negativos, e que |x|^{3}=\sqrt{x^{6}}, y^{2}=\sqrt{y^{4}}.)
Passo 4
Estimando o numerador em função de r.
Calculemos uma cota para o valor absoluto da função:
(Comentário didático: a ideia foi comparar as potências de x e y com a combinação x^{6}+y^{4}. Converter em desigualdades do tipo |x|^{3}\le r e |y|\le r^{1/2} torna a comparação direta e evita manipulações complicadas. Esse tipo de técnica é muito útil em limites multivariáveis quando aparecem potências distintas.)
Passo 6
Verificação por caminhos (intuição extra, opcional).
Se quisermos checar por caminhos especiais, por exemplo y=ax^{3/2} (com a fixo), substituindo obtemos que a razão tende a zero também. Isso dá intuição adicional de que o numerador decai mais rapidamente que o denominador em qualquer direção, confirmando a conclusão do passo anterior.