Calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{9} y}{x^{6}+y^{4}}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}.
  • Informações dadas:
    • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}, definida quando x^{6}+y^{4}\neq0. Para o limite precisamos estudar o comportamento dessa expressão quando (x,y) tende a (0,0).
    • O ponto de interesse é (0,0).
O que precisamos responder: determinar se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do raciocínio que vou usar).
Quando lidamos com limites em várias variáveis, uma técnica poderosa é comparar a função com algo que converge para zero (teorema do confronto / squeeze). Para isso é útil expressar as quantidades em termos de uma “medida de distância” ao ponto (0,0). Aqui aparecem potências diferentes de x e y: x^{6} e y^{4} no denominador, e x^{9}y no numerador. Uma boa escolha é definir
r^{2}:=x^{6}+y^{4},
ou seja, r=\sqrt{x^{6}+y^{4}}. Note que se (x,y)\to(0,0) então r\to0. Vou usar r para comparar as potências de x e y com r e então aplicar o teorema do confronto.
Pequena lembrança (didática): o teorema do confronto em várias variáveis diz que se |g(x,y)|\le h(x,y) em alguma vizinhança de (0,0) e h(x,y)\to0 quando (x,y)\to(0,0), então g(x,y)\to0. Aqui vamos construir uma desigualdade do tipo |f(x,y)|\le algo que tende a 0.

Passo 3

Relacionando x, y e r.
Definimos \;r=\sqrt{x^{6}+y^{4}}, logo \;r^{2}=x^{6}+y^{4}.
A partir disso temos desigualdades diretas:
x^{6}\le x^{6}+y^{4}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad |x|^{3}=\sqrt{x^{6}}\le r,
e
y^{4}\le x^{6}+y^{4}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\sqrt{y^{4}}\le r.
Da última desigualdade segue
|y|=\sqrt{y^{2}}\le \sqrt{r}=r^{1/2}.
Resumindo:
|x|^{3}\le r \quad\text{e}\quad |y|\le r^{1/2}.
(Explicação: usamos que x^{6} e y^{4} são não-negativos, que \sqrt{\cdot} preserva a desigualdade para não-negativos, e que |x|^{3}=\sqrt{x^{6}}, y^{2}=\sqrt{y^{4}}.)

Passo 4

Estimando o numerador em função de r.
Calculemos uma cota para o valor absoluto da função:
\left|\frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}\right| = \frac{|x|^{9}\,|y|}{x^{6}+y^{4}} = \frac{(|x|^{3})^{3}\,|y|}{r^{2}}.
Agora usamos as desigualdades do passo anterior: |x|^{3}\le r e |y|\le r^{1/2}. Substituindo,
(|x|^{3})^{3}\,|y| \le r^{3}\cdot r^{1/2}=r^{7/2}.
Portanto
\left|\frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}\right| \le \frac{r^{7/2}}{r^{2}}=r^{3/2}.

Passo 5

Aplicando o teorema do confronto.
Temos mostrado que, para (x,y) próximos de (0,0),
\left|\frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}}\right|\le r^{3/2},
com r=\sqrt{x^{6}+y^{4}} e r\to0 quando (x,y)\to(0,0). Como r^{3/2}\to0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}y}{x^{6}+y^{4}} = 0.
(Comentário didático: a ideia foi comparar as potências de x e y com a combinação x^{6}+y^{4}. Converter em desigualdades do tipo |x|^{3}\le r e |y|\le r^{1/2} torna a comparação direta e evita manipulações complicadas. Esse tipo de técnica é muito útil em limites multivariáveis quando aparecem potências distintas.)

Passo 6

Verificação por caminhos (intuição extra, opcional).
Se quisermos checar por caminhos especiais, por exemplo y=ax^{3/2} (com a fixo), substituindo obtemos que a razão tende a zero também. Isso dá intuição adicional de que o numerador decai mais rapidamente que o denominador em qualquer direção, confirmando a conclusão do passo anterior.

Resposta

0

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