Determine os extremos e faça o gráfico de f.
4 f(x)=\frac{4 x}{x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os extremos (máx/mín locais e/ou globais) e faça o gráfico da função dada. A informação dada é a equação
4\,f(x)=\frac{4x}{x^{2}-4x+3}.
A partir disso posso isolar f(x) dividindo ambos os lados por 4, obtendo a função que vou estudar:
f(x)=\frac{x}{x^{2}-4x+3}.
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Função: } f(x)=\frac{x}{x^{2}-4x+3}.çã
Não faço mais nada neste passo além de identificar o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Domínio e assíntotas verticais: o denominador é
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),
que se anula em x=1 e x=3. Logo x=1 e x=3 não pertencem ao domínio. O domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}.
Esses pontos são candidatos a assíntotas verticais. Vou verificar o comportamento da função perto deles mais adiante.
Assíntota horizontal: como o grau do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 1), a assíntota horizontal é
y=0,
pois para x\to\pm\infty temos f(x)\to 0.
Intercepto com os eixos: f(0)=0, então a função passa pela origem (0,0). O único zero do numerador é x=0.

Passo 3

Vou calcular a derivada f'(x) para encontrar pontos críticos. Uso a regra do quociente. Se u(x)=x e v(x)=x^{2}-4x+3, a regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'(x)=1 e v'(x)=2x-4. Aplicando:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}-4x+3)-x\cdot(2x-4)}{(x^{2}-4x+3)^{2}}.

Passo 4

Simplifico o numerador passo a passo:
\begin{aligned} \text{num} &= x^{2}-4x+3 - x(2x-4)\\\ &= x^{2}-4x+3 - (2x^{2}-4x)\\\ &= x^{2}-4x+3 -2x^{2}+4x\\\ &= -x^{2}+3. \end{aligned}
Portanto
f'(x)=\frac{-x^{2}+3}{(x^{2}-4x+3)^{2}}=\frac{3-x^{2}}{(x^{2}-4x+3)^{2}}.
Observação importante: o denominador (x^{2}-4x+3)^{2} é sempre positivo para x\neq1,3. Assim o sinal de f'(x) é dado pelo sinal de 3-x^{2}.

Passo 5

Pontos críticos: procuramos onde f'(x)=0 ou não existe. f'(x) não existe em x=1,3 (mas aí não estão no domínio). A condição f'(x)=0
3-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Ambos estão no domínio (pois \pm\sqrt{3}\neq1,3). Então os candidatos a extremos locais são x=-\sqrt{3} e x=+\sqrt{3}.
Agora calculo os valores de f nesses pontos. Primeiro x=-\sqrt{3}:
\begin{aligned} f(-\sqrt{3})&=\frac{-\sqrt{3}}{(-\sqrt{3})^{2}-4(-\sqrt{3})+3} =\frac{-\sqrt{3}}{3+4\sqrt{3}+3} =\frac{-\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}. \end{aligned}
Racionalizando / simplificando (para um valor mais elegante) multiplico numerador e denominador por 6-4\sqrt{3}:
\frac{-\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}(6-4\sqrt{3})}{(6+4\sqrt{3})(6-4\sqrt{3})} =\frac{-6\sqrt{3}+12}{36-48}= \frac{-6\sqrt{3}+12}{-12}.
Dividindo por -12:
f(-\sqrt{3})=\frac{6\sqrt{3}-12}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}-1.
Agora x=+\sqrt{3}:
\begin{aligned} f(\sqrt{3})&=\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}+3} =\frac{\sqrt{3}}{3-4\sqrt{3}+3} =\frac{\sqrt{3}}{6-4\sqrt{3}}. \end{aligned}
Similarmente, racionalizando:
\frac{\sqrt{3}}{6-4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(6+4\sqrt{3})}{36-48}=\frac{6\sqrt{3}+12}{-12}=-\frac{6\sqrt{3}+12}{12}= -\frac{\sqrt{3}}{2}-1.
Para referência numérica: \sqrt{3}\approx1{,}732,
f(-\sqrt{3})\approx 0{,}866-1=-0{,}134\quad\text{e}\quad f(\sqrt{3})\approx -0{,}866-1=-1{,}866.

Passo 6

Classificação dos extremos usando o sinal de f'. Como (x^{2}-4x+3)^{2}>0 em todo domínio, o sinal de f' é o sinal de 3-x^{2}:
  • Para |x|<\sqrt{3} (ou seja -\sqrt{3}<x<\sqrt{3}) temos 3-x^{2}>0 então f'(x)>0: função crescente nesse intervalo (atenção: esse intervalo é cortado pela exclusão de x=1 e x=3; especificamente entre -\sqrt{3} e \sqrt{3} incidem os subintervalos (- \sqrt{3},1) e (1,\sqrt{3}); a monotonicidade vale em cada subintervalo do domínio).
  • Para |x|>\sqrt{3} (ou seja x<-\sqrt{3} e x>\sqrt{3}) temos 3-x^{2}<0 então f'(x)<0: função decrescente aí.
Então:
  • Em x=-\sqrt{3} a derivada muda de negativa para positiva ( f' passa de - para +), logo x=-\sqrt{3} é um ponto de mínimo local. O valor é f(-\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1.
  • Em x=+\sqrt{3} a derivada muda de positiva para negativa, logo x=+\sqrt{3} é um ponto de máximo local. O valor é f(\sqrt{3})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1.
Observações sobre extremos globais: a função tende a -\infty em alguns limites próximos às assíntotas verticais (veja passo seguinte), logo não há mínimo global nem máximo global (a função é não limitada por cima ou por baixo perto de assíntotas).

Passo 7

Comportamento perto das assíntotas e nos infinitos (útil para desenhar o gráfico):
Limites em x=1:
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^{+}}f(x)=-\infty.
Explicação rápida: para x perto de 1, o fator (x-1) domina o sinal do denominador; à esquerda ele é negativo pequeno e (x-3) é negativo, produto positivo pequeno → f\to+\infty; à direita o produto é negativo pequeno → f\to -\infty.
Limites em x=3:
\lim_{x\to3^{-}}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to3^{+}}f(x)=+\infty.
Limites no infinito:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^{+},\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{-},
confirmando a assíntota horizontal y=0.

Passo 8

Resumo das informações para desenhar o gráfico (o que você precisa marcar no esboço):
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{1,3\}.
  • Assíntotas verticais: x=1 e x=3.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Intercepto: (0,0).
  • Extremos locais: \text{mínimo local em }\left(-\sqrt{3},\,\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\approx(-1{,}732,\,-0{,}134).í
\text{máximo local em }\left(\sqrt{3},\,-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\approx(1{,}732,\,-1{,}866).á
  • Monotonicidade: f\\ \text{decrescente em }\;(-\infty,-\sqrt{3}),\quad f\\ \text{crescente em }\;(-\sqrt{3},1),
f\\ \text{crescente em }\;(1,\sqrt{3}),\quad f\\ \text{decrescente em }\;(\sqrt{3},3),\quad f\\ \text{decrescente em }\;(3,\infty).
  • Comportamento perto das assíntotas: em x=1 vai +\infty pela esquerda e -\infty pela direita; em x=3 vai -\infty pela esquerda e +\infty pela direita.
    Com esses pontos (assíntotas, intercepto, extremos, sinais de limites e monotonicidade) você consegue traçar o esboço: três ramos separados por x=1 e x=3, aproximando-se de y=0 nas extremidades, com os extremos locais nos pontos indicados.

Resposta

Mínimo local em \left(-\sqrt{3},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right).
Máximo local em \left(\sqrt{3},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right).
Assíntotas verticais: x=1 e x=3. Assíntota horizontal: y=0. Intercepto: (0,0).

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