Determine os extremos e faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os extremos (máx/mín locais e/ou globais) e faça o gráfico da função dada. A informação dada é a equação
A partir disso posso isolar
dividindo ambos os lados por
, obtendo a função que vou estudar:
Lista das informações relevantes extraídas do enunciado:
Não faço mais nada neste passo além de identificar o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Domínio e assíntotas verticais: o denominador é
que se anula em
e
. Logo
e
não pertencem ao domínio. O domínio é
Esses pontos são candidatos a assíntotas verticais. Vou verificar o comportamento da função perto deles mais adiante.
Assíntota horizontal: como o grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
), a assíntota horizontal é
pois para
temos
.
Intercepto com os eixos:
, então a função passa pela origem
. O único zero do numerador é
.
Passo 3
Vou calcular a derivada
para encontrar pontos críticos. Uso a regra do quociente. Se
e
, a regra do quociente diz:
Aqui
e
. Aplicando:
Passo 4
Simplifico o numerador passo a passo:
Portanto
Observação importante: o denominador
é sempre positivo para
. Assim o sinal de
é dado pelo sinal de
.
Passo 5
Pontos críticos: procuramos onde
ou não existe.
não existe em
(mas aí não estão no domínio). A condição
dá
Ambos estão no domínio (pois
). Então os candidatos a extremos locais são
e
.
Agora calculo os valores de
nesses pontos. Primeiro
:
Racionalizando / simplificando (para um valor mais elegante) multiplico numerador e denominador por
:
Dividindo por
:
Agora
:
Similarmente, racionalizando:
Para referência numérica:
,
Passo 6
Classificação dos extremos usando o sinal de
. Como
em todo domínio, o sinal de
é o sinal de
:
- Para
(ou seja ) temos então : função crescente nesse intervalo (atenção: esse intervalo é cortado pela exclusão de e ; especificamente entre e incidem os subintervalos e ; a monotonicidade vale em cada subintervalo do domínio). - Para
(ou seja e ) temos então : função decrescente aí.
Então:
- Em
a derivada muda de negativa para positiva ( passa de - para +), logo é um ponto de mínimo local. O valor é . - Em
a derivada muda de positiva para negativa, logo é um ponto de máximo local. O valor é .
Observações sobre extremos globais: a função tende a
em alguns limites próximos às assíntotas verticais (veja passo seguinte), logo não há mínimo global nem máximo global (a função é não limitada por cima ou por baixo perto de assíntotas).
Passo 7
Comportamento perto das assíntotas e nos infinitos (útil para desenhar o gráfico):
Limites em
:
Explicação rápida: para
perto de
, o fator
domina o sinal do denominador; à esquerda ele é negativo pequeno e
é negativo, produto positivo pequeno →
; à direita o produto é negativo pequeno →
.
Limites em
:
Limites no infinito:
confirmando a assíntota horizontal
.
Passo 8
Resumo das informações para desenhar o gráfico (o que você precisa marcar no esboço):
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Intercepto:
. - Extremos locais:
- Monotonicidade:
- Comportamento perto das assíntotas: em
vai pela esquerda e pela direita; em vai pela esquerda e pela direita.
Com esses pontos (assíntotas, intercepto, extremos, sinais de limites e monotonicidade) você consegue traçar o esboço: três ramos separados pore , aproximando-se de nas extremidades, com os extremos locais nos pontos indicados.
Resposta
Mínimo local em
.
Máximo local em .
Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
. Intercepto:
.
Máximo local em
Assíntotas verticais: