Determine os extremos e faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas: (i) determinar os extremos de
e (ii) fazer o gráfico de
. Informações explícitas que já temos: a expressão racional
. Observação imediata (importante): o denominador
não pode ser zero, logo
. Aqui eu só destaquei o que o problema pede e as informações dadas; na próxima etapa eu resolvo de fato.
Passo 2
Isolando
(passo básico de álgebra): dividimos os dois lados por
:
É útil escrever
numa forma que mostre claramente o comportamento para grandes
. Faço uma decomposição por divisão ou forma equivalente. Escrevo
Procuro uma divisão do tipo
. Fazendo a decomposição:
Logo, uma forma limpa para trabalhar é
Essa forma já nos mostra a assíntota horizontal e facilita derivação e limites.
Passo 3
Domínio e assíntotas (aula rápida sobre o que procurar num racional):
- Domínio:
porque zera o denominador. - Assíntota vertical: ocorre quando denominador
e numerador . Aqui é assíntota vertical. - Assíntota horizontal: olhando a forma
, quando a fração , então
Portanto
é a assíntota horizontal. Dica didática: reescrever o racional como constante + termo que tende a zero é a maneira padrão de identificar assíntota horizontal.
Passo 4
Derivada de
(para achar extremos): uso a forma já simplificada
. Derivando termo a termo (regra do poder):
Explicação do processo: derivei
usando
. Coloquei o fator
que já estava multiplicando.
Passo 5
Análise do sinal de
e o que isso significa (mini-aula sobre monotonicidade):
- O denominador
é sempre positivo para todo . - O numerador é
, negativo.
Logo
Interpretação:
é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, isto é, em
e em
. Como a derivada nunca se anula (não existe
com
no domínio), não há pontos críticos interiores onde apareceria um máximo ou mínimo local por troca de sinal da derivada.
Passo 6
Conclusão sobre extremos (explicando por que não há):
- Não existe
tal que no domínio. - O ponto
não pertence ao domínio (assíntota vertical), então não é ponto extremo.
Portanto não há extremos locais nem extremos globais finitos. (Posso também comentar: a função assume valores arbitrariamente grandes positivos perto dee arbitrariamente grandes negativos perto de , logo não há máximo nem mínimo global finitos.)
Passo 7
Limites importantes e imagem (para o gráfico e para entender o alcance da função):
- Limites na assíntota vertical (usando a forma decompositiva):
- Limites no infinito (já visto):
- A equação
não tem solução (colocando na expressão original dá contradição), então não é atingida, apenas é assíntota horizontal. - Consequência para a imagem (contraste e conclusão): a imagem de
é
Passo 8
Pontos úteis para esboçar o gráfico (calculando interceptos e alguns pontos):
- Interseção com o eixo
(colocar ):
- Zeros (interseção com eixo
): resolver . Logo ponto . - Um ponto à esquerda de
para ver a ramificação esquerda: por exemplo :
Esses pontos ajudam a posicionar as curvas no esboço.
Passo 9
Instruções para desenhar o gráfico (passo a passo, como eu faria num rascunho de prova):
- Desenhe as assíntotas: reta vertical
(tracejada) e reta horizontal (tracejada). - No ramo direito
: a função vem de quando e decresce estritamente até aproximar-se de por cima quando . Coloque o ponto e o ponto na curva; a curva passa por eles e é estritamente decrescente. - No ramo esquerdo
: a função vem de por baixo quando e decresce (ou seja, continua decrescendo) até quando . Coloque o ponto como referência. - Verifique que a curva nunca cruza
e é contínua em cada ramo (intervalo do domínio), com comportamento vertical na assíntota.
Seguindo isso você terá o esboço correto: dois ramos, um à esquerda que vai de perto de(em ) até em , e outro à direita que vem de em e vai para por cima quando .
Resposta
Não há extremos locais nem extremos globais.
Assíntotas: (vertical) e
(horizontal).
Monotonicidade: é estritamente decrescente em
e em
.
Interceptos e pontos úteis: , zero em
(ponto
), e
.
Imagem: .
Assíntotas:
Monotonicidade:
Interceptos e pontos úteis:
Imagem: