Determine os extremos e faça o gráfico de f.
2 f(x)=\frac{3-x}{x+2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
2\,f(x)=\frac{3-x}{x+2}
e pede duas coisas: (i) determinar os extremos de f e (ii) fazer o gráfico de f. Informações explícitas que já temos: a expressão racional \dfrac{3-x}{x+2}. Observação imediata (importante): o denominador x+2 não pode ser zero, logo x\neq -2. Aqui eu só destaquei o que o problema pede e as informações dadas; na próxima etapa eu resolvo de fato.

Passo 2

Isolando f(x) (passo básico de álgebra): dividimos os dois lados por 2:
f(x)=\frac{3-x}{2(x+2)}.
É útil escrever f numa forma que mostre claramente o comportamento para grandes |x|. Faço uma decomposição por divisão ou forma equivalente. Escrevo
\frac{3-x}{2(x+2)}=\frac{-x+3}{2x+4}.
Procuro uma divisão do tipo \text{constante} + \dfrac{\text{resto}}{2x+4}. Fazendo a decomposição:
\frac{-x+3}{2x+4}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2x+4}.
Logo, uma forma limpa para trabalhar é
f(x)=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2(x+2)}.
Essa forma já nos mostra a assíntota horizontal e facilita derivação e limites.

Passo 3

Domínio e assíntotas (aula rápida sobre o que procurar num racional):
  • Domínio: x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\} porque x=-2 zera o denominador.
  • Assíntota vertical: ocorre quando denominador \to 0 e numerador \not\to 0. Aqui x=-2 é assíntota vertical.
  • Assíntota horizontal: olhando a forma f(x)=-\tfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2(x+2)}, quando x\to\pm\infty a fração \dfrac{5}{2(x+2)}\to 0, então
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-\frac{1}{2}.
Portanto y=-\tfrac{1}{2} é a assíntota horizontal. Dica didática: reescrever o racional como constante + termo que tende a zero é a maneira padrão de identificar assíntota horizontal.

Passo 4

Derivada de f (para achar extremos): uso a forma já simplificada f(x)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}(x+2)^{-1}. Derivando termo a termo (regra do poder):
f'(x)=0+\frac{5}{2}\cdot(-1)(x+2)^{-2}=-\frac{5}{2(x+2)^2}.
Explicação do processo: derivei (x+2)^{-1} usando \dfrac{d}{dx}(x+2)^{-1}=-1\cdot(x+2)^{-2}. Coloquei o fator \tfrac{5}{2} que já estava multiplicando.

Passo 5

Análise do sinal de f' e o que isso significa (mini-aula sobre monotonicidade):
  • O denominador (x+2)^2 é sempre positivo para todo x\neq -2.
  • O numerador é -5, negativo.
    Logo
f'(x)=-\frac{5}{2(x+2)^2}<0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}.
Interpretação: f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, isto é, em (-\infty,-2) e em (-2,\infty). Como a derivada nunca se anula (não existe x com f'(x)=0 no domínio), não há pontos críticos interiores onde apareceria um máximo ou mínimo local por troca de sinal da derivada.

Passo 6

Conclusão sobre extremos (explicando por que não há):
  • Não existe x tal que f'(x)=0 no domínio.
  • O ponto x=-2 não pertence ao domínio (assíntota vertical), então não é ponto extremo.
    Portanto não há extremos locais nem extremos globais finitos. (Posso também comentar: a função assume valores arbitrariamente grandes positivos perto de x=-2^+ e arbitrariamente grandes negativos perto de x=-2^-, logo não há máximo nem mínimo global finitos.)

Passo 7

Limites importantes e imagem (para o gráfico e para entender o alcance da função):
  • Limites na assíntota vertical (usando a forma decompositiva):
\lim_{x\to-2^+} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-2^-} f(x)=-\infty.
  • Limites no infinito (já visto):
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-\frac{1}{2}.
  • A equação f(x)=-\tfrac{1}{2} não tem solução (colocando na expressão original dá contradição), então y=-\tfrac{1}{2} não é atingida, apenas é assíntota horizontal.
  • Consequência para a imagem (contraste e conclusão): a imagem de f é
\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{1}{2}\right\}.

Passo 8

Pontos úteis para esboçar o gráfico (calculando interceptos e alguns pontos):
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0):
f(0)=\frac{3-0}{2(0+2)}=\frac{3}{4}.
  • Zeros (interseção com eixo x): resolver f(x)=0\Rightarrow 3-x=0\Rightarrow x=3. Logo ponto (3,0).
  • Um ponto à esquerda de -2 para ver a ramificação esquerda: por exemplo x=-3:
f(-3)=\frac{3-(-3)}{2(-3+2)}=\frac{6}{2(-1)}=-3.
Esses pontos ajudam a posicionar as curvas no esboço.

Passo 9

Instruções para desenhar o gráfico (passo a passo, como eu faria num rascunho de prova):
  1. Desenhe as assíntotas: reta vertical x=-2 (tracejada) e reta horizontal y=-\tfrac{1}{2} (tracejada).
  2. No ramo direito (-2,\infty): a função vem de +\infty quando x\to-2^+ e decresce estritamente até aproximar-se de -\tfrac{1}{2} por cima quando x\to\infty. Coloque o ponto (0,\tfrac{3}{4}) e o ponto (3,0) na curva; a curva passa por eles e é estritamente decrescente.
  3. No ramo esquerdo (-\infty,-2): a função vem de -\tfrac{1}{2} por baixo quando x\to-\infty e decresce (ou seja, continua decrescendo) até -\infty quando x\to-2^-. Coloque o ponto (-3,-3) como referência.
  4. Verifique que a curva nunca cruza y=-\tfrac{1}{2} e é contínua em cada ramo (intervalo do domínio), com comportamento vertical na assíntota.
    Seguindo isso você terá o esboço correto: dois ramos, um à esquerda que vai de perto de -\tfrac{1}{2} (em x\to-\infty) até -\infty em x\to-2^-, e outro à direita que vem de +\infty em x\to-2^+ e vai para -\tfrac{1}{2} por cima quando x\to\infty.

Resposta

Não há extremos locais nem extremos globais.
Assíntotas: x=-2 (vertical) e y=-\tfrac{1}{2} (horizontal).
Monotonicidade: f é estritamente decrescente em (-\infty,-2) e em (-2,\infty).
Interceptos e pontos úteis: f(0)=\tfrac{3}{4}, zero em x=3 (ponto (3,0)), e f(-3)=-3.
Imagem: \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{1}{2}\right\}.

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