Determine os extremos e faça o gráfico de f.
6 f(x)=\frac{-2 x^{2}+14 x-24}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) “Determine os extremos” da função e (2) "faça o gráfico de f". A função dada é
6 f(x)=\frac{-2 x^{2}+14 x-24}{x^{2}+2 x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A relação é 6f(x)=\dfrac{-2x^{2}+14x-24}{x^{2}+2x}.
  • Implicita está a existência de pontos onde a função não está definida (quando o denominador é zero).
  • Precisamos encontrar máximos e mínimos locais (extremos) e descrever o gráfico (assíntotas, comportamento, zeros, monotonia) para poder desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f(x) de forma mais simples para trabalhar bem com ela. A partir de
6 f(x)=\frac{-2 x^{2}+14 x-24}{x^{2}+2 x}
dividimos ambos os lados por 6 e simplificamos fatores comuns. Note que podemos fatorar o numerador:
-2x^{2}+14x-24=-2(x^{2}-7x+12)=-2(x-3)(x-4).
Portanto
f(x)=\frac{-2(x-3)(x-4)}{6\,x(x+2)}= -\frac{1}{3}\cdot\frac{(x-3)(x-4)}{x(x+2)}.
Essa forma já é útil. Outra forma ainda mais prática para derivar é fazer a divisão polinomial (ou separar em assíntota horizontal + fração propriamente dita). Observando os coeficientes principais, o termo de maior grau cancela em grau, então há uma assíntota horizontal y=-\tfrac{1}{3}. Escrevendo a função como assíntota mais resto:
f(x)=-\frac{1}{3}+\frac{18x-24}{6(x^{2}+2x)}=-\frac{1}{3}+\frac{3x-4}{x(x+2)}.
Agora fazemos frações parciais em \dfrac{3x-4}{x(x+2)}. Procuramos A,B tais que
\frac{3x-4}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando por x(x+2) obtemos 3x-4=A(x+2)+Bx=(A+B)x+2A. Igualando coeficientes:
A+B=3,\qquad 2A=-4\Rightarrow A=-2,\; B=5.
Logo a decomposição é
\boxed{f(x)=-\frac{1}{3}-\frac{2}{x}+\frac{5}{x+2}.}
Essa expressão é MUITO útil para estudar limite, assíntotas e derivada.

Passo 3

Determinar o domínio e assíntotas verticais:
  • A função tem denominador zero quando x^{2}+2x=0, ou seja x(x+2)=0. Então x=0 e x=-2 não pertencem ao domínio.
  • Assim o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0,-2\}.
  • Os pontos x=0 e x=-2 são candidatos a assíntotas verticais. Vamos, depois, ver o comportamento lateral próximo a eles.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) (a partir da forma em frações simples, que facilita):
f(x)=-\frac{1}{3}-2x^{-1}+5(x+2)^{-1}.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2} e \dfrac{d}{dx}(x+2)^{-1}=-(x+2)^{-2}):
f'(x)= -2\cdot(-1)x^{-2} +5\cdot(-1)(x+2)^{-2}=\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{(x+2)^{2}}.
Explico a ideia: derivada dá a taxa de variação instantânea; pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' não existe (aqui, f' não existe exatamente onde f não existe: x=0,-2).

Passo 5

Encontrar os pontos críticos com f'(x)=0:
\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{(x+2)^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2}{x^{2}}=\frac{5}{(x+2)^{2}}
Multiplicando em cruz:
2(x+2)^{2}=5x^{2}.
Expandindo:
2(x^{2}+4x+4)=5x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}+8x+8=5x^{2}
que leva a
3x^{2}-8x-8=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara), o discriminante é \Delta=(-8)^{2}-4\cdot3\cdot(-8)=64+96=160. Assim as raízes são
x=\frac{8\pm\sqrt{160}}{6}=\frac{8\pm4\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{3}.
Denotamos
\boxed{x_{1}=\frac{4-2\sqrt{10}}{3},\qquad x_{2}=\frac{4+2\sqrt{10}}{3}.}
Ambos pertencem ao domínio (pois não são 0 nem -2) e são, portanto, pontos críticos.

Passo 6

Classificação dos extremos usando o sinal de f'. Fazemos um estudo de sinais de
f'(x)=\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{(x+2)^{2}}.
Observações: x=-2 e x=0 não pertencem ao domínio, então separamos intervalos:
(-\infty,-2),\;(-2,x_{1}),\;(x_{1},0),\;(0,x_{2}),\;(x_{2},\infty).
Escolhendo pontos de teste em cada intervalo (por exemplo x=-3,-1.5,-0.5,1,4) e avaliando o sinal de f' (lembrando que denominadores são quadrados, sempre positivos, então o sinal depende da diferença entre os termos), obtemos:
  • f'<0 em (-\infty,-2);
  • f'<0 em (-2,x_{1});
  • f'>0 em (x_{1},0);
  • f'>0 em (0,x_{2});
  • f'<0 em (x_{2},\infty).
Interpretação prática: em x_{1} a derivada muda de negativa para positiva ( - para +) — isso indica um mínimo local; em x_{2} a derivada muda de positiva para negativa ( + para -) — isso indica um máximo local.

Passo 7

Calcular os valores da função nos pontos críticos (precisamos das ordenadas dos extremos). Em vez de fazer substituição direta cheia de álgebra, usamos uma técnica que aproveita a relação que originou as raízes: definimos
r=\frac{x+2}{x}.
Da condição que levou às raízes temos \dfrac{(x+2)^{2}}{x^{2}}=\dfrac{5}{2}, ou seja r^{2}=\dfrac{5}{2}. Assim r=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}. Para cada raiz isso dá um r correspondente (sinal positivo quando x>0, sinal negativo quando x<0). Agora escrevemos
f(x)=-\frac{1}{3}+\frac{3x-4}{x(x+2)}.
Com r=(x+2)/x obtemos (substituições algébricas, com passos):
\frac{3x-4}{x(x+2)}=\frac{(r-1)(5-2r)}{2r},
o que, usando r^{2}=\tfrac{5}{2}, simplifica para
\frac{3x-4}{x(x+2)}=\frac{7}{2}-\frac{5}{r}.
Portanto
f(x)=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{2}-\frac{5}{r}\right)=\frac{19}{6}-\frac{5}{r}.
Agora plugamos r=\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}:
  • Para a raiz negativa r=-\sqrt{\tfrac{5}{2}} (essa corresponde ao x negativo, que é x_{1}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{3}) temos -\dfrac{5}{r}=+\sqrt{10}. Logo
f\!\left(\frac{4-2\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{19}{6}+\sqrt{10}.
  • Para a raiz positiva r=+\sqrt{\tfrac{5}{2}} (correspondente a x_{2}=\dfrac{4+2\sqrt{10}}{3}) temos -\dfrac{5}{r}=-\sqrt{10}. Logo
f\!\left(\frac{4+2\sqrt{10}}{3}\right)=\frac{19}{6}-\sqrt{10}.
Assim, obtivemos as ordenadas exatas dos extremos:
\boxed{f(x_{1})=\frac{19}{6}+\sqrt{10},\qquad f(x_{2})=\frac{19}{6}-\sqrt{10}.}

Passo 8

Resumo e interpretação dos extremos:
  • x_{1}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{3} é um mínimo local e
\left(x_{1},f(x_{1})\right)=\left(\dfrac{4-2\sqrt{10}}{3},\;\dfrac{19}{6}+\sqrt{10}\right).
  • x_{2}=\dfrac{4+2\sqrt{10}}{3} é um máximo local e
\left(x_{2},f(x_{2})\right)=\left(\dfrac{4+2\sqrt{10}}{3},\;\dfrac{19}{6}-\sqrt{10}\right).
Numéricamente (apenas para intuição e esboço):
x_{1}\approx-0{,}77497,\quad f(x_{1})\approx6{,}32894;
x_{2}\approx3{,}44163,\quad f(x_{2})\approx0{,}004389.

Passo 9

Outros elementos importantes para o gráfico (todos derivados da forma f(x)=-\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x+2}):
  1. Assíntotas verticais: x=0 e x=-2 (porque a função não está definida nesses pontos).
    • Comportamento lateral:
      • x\to 0^{+}: -\tfrac{2}{x}\to -\infty domina, logo f(x)\to -\infty.
      • x\to 0^{-}: -\tfrac{2}{x}\to +\infty, logo f(x)\to +\infty.
      • x\to -2^{+}: \tfrac{5}{x+2}\to +\infty, logo f(x)\to +\infty.
      • x\to -2^{-}: \tfrac{5}{x+2}\to -\infty, logo f(x)\to -\infty.
  2. Assíntota horizontal: y=-\dfrac{1}{3} (porque \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\tfrac{1}{3}). Observação sobre aproximação:
    • Para x\to+\infty, f(x) aproxima-se de -\tfrac{1}{3} por valores um pouco maiores (a correção é \sim 3/x>0).
    • Para x\to-\infty, aproxima-se por valores um pouco menores (correção \sim 3/x<0).
  3. Zeros (interseções com o eixo x): resolver numerador -2x^{2}+14x-24=0 x=3 e x=4. Ou seja, interceptos em (3,0) e (4,0).
  4. Interseção com o eixo y: não existe porque x=0 não pertence ao domínio.
  5. Monotonia (já obtida pelo sinal de f'):
    • Decrescente em (-\infty,-2) e em (-2,x_{1}).
    • Crescente em (x_{1},0) e em (0,x_{2}).
    • Decrescente em (x_{2},\infty).

Passo 10

Instruções para desenhar o gráfico (esboço):
  • Trace as assíntotas verticais x=-2 e x=0 (linhas pontilhadas) e a assíntota horizontal y=-\tfrac{1}{3}.
  • Em (-\infty,-2) a curva vem decrescendo para a assíntota vertical em x=-2 de cima (tende a -\infty à esquerda? na verdade tende a -\infty para x\to-2^{-} — ver resumo do comportamento).
  • Entre -2 e 0 a função primeiro decresce até atingir o mínimo local em x_{1} e depois sobe para +\infty ao aproximar 0^{-}.
  • Entre 0 e x_{2} a função vem de -\infty (em 0^{+}) sobe, cruza os zeros em x=3 e x=4 (na verdade 3 e 4 estão na região >0) e atinge o máximo local em x_{2}, depois decresce e tende para a assíntota horizontal y=-\tfrac{1}{3} quando x\to+\infty.
  • Marque pontos-chave: zeros em 3,4; extremos em x_{1},x_{2} com suas ordenadas exatas; comportamento próximo das assíntotas conforme explicado.
Com isso tem-se toda a informação necessária para desenhar um esboço fiel da curva.

Resposta

Mínimo local: \displaystyle\left(\dfrac{4-2\sqrt{10}}{3},\;\dfrac{19}{6}+\sqrt{10}\right)\n
Máximo local: \displaystyle\left(\dfrac{4+2\sqrt{10}}{3},\;\dfrac{19}{6}-\sqrt{10}\right)\n
Assíntotas verticais: x=0,\;x=-2\n
Assíntota horizontal: y=-\dfrac{1}{3}\n
Zeros (interseções com o eixo x): x=3,\;x=4

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