Determine os extremos e faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) “Determine os extremos” da função e (2) "faça o gráfico de
". A função dada é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A relação é
. - Implicita está a existência de pontos onde a função não está definida (quando o denominador é zero).
- Precisamos encontrar máximos e mínimos locais (extremos) e descrever o gráfico (assíntotas, comportamento, zeros, monotonia) para poder desenhar a curva.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
de forma mais simples para trabalhar bem com ela. A partir de
dividimos ambos os lados por
e simplificamos fatores comuns. Note que podemos fatorar o numerador:
Portanto
Essa forma já é útil. Outra forma ainda mais prática para derivar é fazer a divisão polinomial (ou separar em assíntota horizontal + fração propriamente dita). Observando os coeficientes principais, o termo de maior grau cancela em grau, então há uma assíntota horizontal
. Escrevendo a função como assíntota mais resto:
Agora fazemos frações parciais em
. Procuramos
tais que
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes:
Logo a decomposição é
Essa expressão é MUITO útil para estudar limite, assíntotas e derivada.
Passo 3
Determinar o domínio e assíntotas verticais:
- A função tem denominador zero quando
, ou seja . Então e não pertencem ao domínio. - Assim o domínio é
. - Os pontos
e são candidatos a assíntotas verticais. Vamos, depois, ver o comportamento lateral próximo a eles.
Passo 4
Calcular a derivada
(a partir da forma em frações simples, que facilita):
Derivando termo a termo (regra:
e
):
Explico a ideia: derivada dá a taxa de variação instantânea; pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe (aqui,
não existe exatamente onde
não existe:
).
Passo 5
Encontrar os pontos críticos com
:
Multiplicando em cruz:
Expandindo:
que leva a
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara), o discriminante é
. Assim as raízes são
Denotamos
Ambos pertencem ao domínio (pois não são
nem
) e são, portanto, pontos críticos.
Passo 6
Classificação dos extremos usando o sinal de
. Fazemos um estudo de sinais de
Observações:
e
não pertencem ao domínio, então separamos intervalos:
Escolhendo pontos de teste em cada intervalo (por exemplo
) e avaliando o sinal de
(lembrando que denominadores são quadrados, sempre positivos, então o sinal depende da diferença entre os termos), obtemos:
-
em ; -
em ; -
em ; -
em ; -
em .
Interpretação prática: em
a derivada muda de negativa para positiva (
para
) — isso indica um mínimo local; em
a derivada muda de positiva para negativa (
para
) — isso indica um máximo local.
Passo 7
Calcular os valores da função nos pontos críticos (precisamos das ordenadas dos extremos). Em vez de fazer substituição direta cheia de álgebra, usamos uma técnica que aproveita a relação que originou as raízes: definimos
Da condição que levou às raízes temos
, ou seja
. Assim
. Para cada raiz isso dá um
correspondente (sinal positivo quando
, sinal negativo quando
). Agora escrevemos
Com
obtemos (substituições algébricas, com passos):
o que, usando
, simplifica para
Portanto
Agora plugamos
:
- Para a raiz negativa
(essa corresponde ao negativo, que é ) temos . Logo
- Para a raiz positiva
(correspondente a ) temos . Logo
Assim, obtivemos as ordenadas exatas dos extremos:
Passo 8
Resumo e interpretação dos extremos:
-
é um mínimo local e
-
é um máximo local e
Numéricamente (apenas para intuição e esboço):
Passo 9
Outros elementos importantes para o gráfico (todos derivados da forma
):
-
Assíntotas verticais:
e (porque a função não está definida nesses pontos). - Comportamento lateral:
-
: domina, logo . -
: , logo . -
: , logo . -
: , logo .
-
- Comportamento lateral:
-
Assíntota horizontal:
(porque ). Observação sobre aproximação: - Para
, aproxima-se de por valores um pouco maiores (a correção é ). - Para
, aproxima-se por valores um pouco menores (correção ).
- Para
-
Zeros (interseções com o eixo
): resolver numerador dá e . Ou seja, interceptos em e . -
Interseção com o eixo
: não existe porque não pertence ao domínio. -
Monotonia (já obtida pelo sinal de
): - Decrescente em
e em . - Crescente em
e em . - Decrescente em
.
- Decrescente em
Passo 10
Instruções para desenhar o gráfico (esboço):
- Trace as assíntotas verticais
e (linhas pontilhadas) e a assíntota horizontal . - Em
a curva vem decrescendo para a assíntota vertical em de cima (tende a à esquerda? na verdade tende a para — ver resumo do comportamento). - Entre
e a função primeiro decresce até atingir o mínimo local em e depois sobe para ao aproximar . - Entre
e a função vem de (em ) sobe, cruza os zeros em e (na verdade 3 e 4 estão na região ) e atinge o máximo local em , depois decresce e tende para a assíntota horizontal quando . - Marque pontos-chave: zeros em
; extremos em com suas ordenadas exatas; comportamento próximo das assíntotas conforme explicado.
Com isso tem-se toda a informação necessária para desenhar um esboço fiel da curva.
Resposta
Mínimo local:
\n
Máximo local: \n
Assíntotas verticais: \n
Assíntota horizontal: \n
Zeros (interseções com o eixo ):
Máximo local:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Zeros (interseções com o eixo