Determine os extremos locais de
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x+4 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x+4y
e pede para determinar os extremos locais (ou seja, pontos onde a função tem máximo local ou mínimo local e identificar qual é cada um).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explícita em duas variáveis x e y.
  • Não há restrições adicionais sobre x e y (domínio é todo \mathbb{R}^{2}).
  • O objetivo é encontrar pontos críticos e classificar cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).

Passo 2

O primeiro passo prático é encontrar os pontos críticos: são os pontos onde o gradiente de f é nulo. Vou explicar o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais.
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Derivada parcial em relação a x: trata y como constante e deriva em x.
Derivada parcial em relação a y: trata x como constante e deriva em y.
Calculemos as derivadas:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y+4.

Passo 3

Agora imponho que o gradiente seja o vetor nulo para achar os pontos críticos:
2x-2=0, \qquad 2y+4=0.
Resolvo essas equações simples:
2x-2=0 \Rightarrow x=1, \qquad 2y+4=0 \Rightarrow y=-2.
Portanto há exatamente um ponto crítico em (x,y)=(1,-2).

Passo 4

Para classificar o ponto crítico vou usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é a Hessiana e por que ela serve para classificar extremos.
A matriz Hessiana H é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Para a nossa função, calcule cada segunda derivada:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2.
Logo a Hessiana é constante:
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação da Hessiana para classificar extremos (explicação didática):
  • Se H é definida positiva no ponto crítico (todos os autovalores positivos), então f tem mínimo local aí.
  • Se H é definida negativa (todos autovalores negativos), então f tem máximo local.
  • Se H tem sinais mistos, é ponto de sela.
No nosso caso, H é diagonal com entradas 2 e 2. Os autovalores são 2 e 2, ambos positivos. Uma forma prática equivalente (para 2\times2) é verificar os menores principais determinantes:
D_{1}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2>0, \qquad \det H=2\cdot2-0\cdot0=4>0.
Como D_{1}>0 e \det H>0 e a primeira entrada é positiva, a Hessiana é definida positiva. Assim o ponto crítico (1,-2) é um mínimo local.

Passo 6

Além do teste das derivadas, há uma maneira muito direta e útil para funções quadráticas: completar o quadrado. Isso também ajuda a ver que o mínimo é global, não só local.
Reescrevo f completando quadrados:
f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}+4y =(x-1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4 =(x-1)^{2}+(y+2)^{2}-5.
Note que (x-1)^{2}\ge 0 e (y+2)^{2}\ge 0 para todo x,y. Assim o menor valor possível de f ocorre quando ambos os quadrados são zero, isto é, em x=1 e y=-2. O valor mínimo é
f(1,-2)=-5.
Como a soma de quadrados é sempre não negativa, esse é um mínimo global (não existe ponto com valor menor).

Resposta

Mínimo em (1,-2) com valor f(1,-2)=-5.

Exercícios relacionados