e pede para determinar os extremos locais (ou seja, pontos onde a função tem máximo local ou mínimo local e identificar qual é cada um).
Informações relevantes fornecidas:
A função é explícita em duas variáveis x e y.
Não há restrições adicionais sobre x e y (domínio é todo \mathbb{R}^{2}).
O objetivo é encontrar pontos críticos e classificar cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela).
Passo 2
O primeiro passo prático é encontrar os pontos críticos: são os pontos onde o gradiente de f é nulo. Vou explicar o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais.
O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais em relação a x e a y:
Portanto há exatamente um ponto crítico em (x,y)=(1,-2).
Passo 4
Para classificar o ponto crítico vou usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é a Hessiana e por que ela serve para classificar extremos.
A matriz Hessiana H é a matriz das segundas derivadas parciais:
Interpretação da Hessiana para classificar extremos (explicação didática):
Se H é definida positiva no ponto crítico (todos os autovalores positivos), então f tem mínimo local aí.
Se H é definida negativa (todos autovalores negativos), então f tem máximo local.
Se H tem sinais mistos, é ponto de sela.
No nosso caso, H é diagonal com entradas 2 e 2. Os autovalores são 2 e 2, ambos positivos. Uma forma prática equivalente (para 2\times2) é verificar os menores principais determinantes:
Como D_{1}>0 e \det H>0 e a primeira entrada é positiva, a Hessiana é definida positiva. Assim o ponto crítico (1,-2) é um mínimo local.
Passo 6
Além do teste das derivadas, há uma maneira muito direta e útil para funções quadráticas: completar o quadrado. Isso também ajuda a ver que o mínimo é global, não só local.
Note que (x-1)^{2}\ge 0 e (y+2)^{2}\ge 0 para todo x,y. Assim o menor valor possível de f ocorre quando ambos os quadrados são zero, isto é, em x=1 e y=-2. O valor mínimo é
f(1,-2)=-5.
Como a soma de quadrados é sempre não negativa, esse é um mínimo global (não existe ponto com valor menor).