Classifique os pontos críticos de
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede: classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4.
Informações dadas (o que temos à disposição):
  • A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4.
  • A tarefa é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e, para cada ponto crítico, dizer se é mínimo, máximo ou ponto de sela — e, se possível, comentar se é mínimo/ máximo global ou apenas local.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achar:
Um ponto crítico é um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada variável, mantendo a outra fixa. Vou calcular as derivadas parciais de f.
Derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
Derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos: resolver o sistema \nabla f=(0,0), isto é,
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Substituindo as derivadas:
2x=0,\qquad 2y=0.
Daí obtemos
x=0,\qquad y=0.
Logo, há um único ponto crítico: (0,0).

Passo 4

Como classificar o ponto crítico: teste das segundas derivadas (matriz Hessiana).
Definição rápida e intuitiva: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais e dá informação sobre curvatura da superfície. Para duas variáveis,
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Vou calcular as segundas derivadas de f.
Segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.
Portanto a Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
que é constante (não depende de (x,y)).]

Passo 5

Aplicando o teste das segundas derivadas (caso de duas variáveis):
Calcule o determinante da Hessiana no ponto crítico e observe \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
D=\det H_f(0,0)= (2)(2)-(0)^{2}=4.
Como D>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=2>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (0,0) é um mínimo local.

Passo 6

Mostrar que é mínimo global (não só local):
Note que para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} vale x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0. Assim
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4 \ge 0+0+4=4.
A igualdade ocorre exatamente quando x=0 e y=0. Portanto f(x,y)\ge 4 para todo (x,y) e f(0,0)=4. Isso mostra que o mínimo local em (0,0) é, na verdade, um mínimo global da função, atingido apenas em (0,0).

Passo 7

Pequena interpretação intuitiva (pra te dar confiança):
A função é uma soma de quadrados mais uma constante; geometricamente é um paraboloide convexo apontando para cima, deslocado verticalmente por 4. Isso explica por que tem um único vale (mínimo) em (0,0).

Resposta

(0,0) é o único ponto crítico e é um mínimo global de f; o valor mínimo é f(0,0)=4.

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