Determine os pontos críticos de
f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}.
Informações dadas:
  • A função é definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Deve-se encontrar pontos (x,y) onde as derivadas parciais (gradiente) se anulam — esses são os pontos críticos.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática)?
Um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico de f se o gradiente de f em (x_{0},y_{0}) é o vetor zero (ou se alguma derivada parcial não existe). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição: \frac{\partial f}{\partial x} mede a variação de f quando movemos em x mantendo y fixo; \frac{\partial f}{\partial y} faz o análogo para y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (passo a passo, como numa prova):
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: tratar y como constante e derivar x^{2} em relação a x. A derivada de x^{2} é 2x. O termo 4y^{2} é constante em relação a x, então sua derivada é 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: tratar x como constante e derivar 4y^{2} em relação a y. A derivada de 4y^{2} é 4\cdot 2y=8y. O termo x^{2} é constante em relação a y, então sua derivada é 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=8y.

Passo 4

Encontrar os pontos onde o gradiente é zero (resolver o sistema):
\nabla f(x,y)=(2x,\,8y)=(0,0)
isso equivale ao sistema
2x=0,\qquad 8y=0.
Resolvendo cada equação obtemos
x=0,\qquad y=0.
Portanto existe exatamente um ponto crítico: (0,0).

Passo 5

Classificar o ponto crítico (explicação do teste das segundas derivadas e interpretação):
  • Calcular as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=8,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=0.
  • A matriz Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 8\end{pmatrix}.
Para classificar um ponto crítico em \mathbb{R}^{2} verifica-se se a Hessiana é definida positiva, definida negativa ou indefinida. Um jeito simples: checar os menores principais:
D_{1}=2>0,\qquad D_{2}=\det(H_f)=2\cdot 8-0=16>0.
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é definida positiva em todo lugar, portanto o ponto crítico (0,0) é um mínimo local.]

Passo 6

Mostrar que é mínimo global (intuição e prova curta):
A função é soma de quadrados com coeficientes positivos:
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}\ge 0\quad\text{para todos }(x,y),
e f(x,y)=0 somente quando x=0 e y=0. Assim f atinge seu menor valor 0 em (0,0). Portanto (0,0) é mínimo global.

Resposta

(0,0) — mínimo global (único ponto crítico)

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