Determine os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função
Informações dadas:
- A função é definida para todos os pares
. - Deve-se encontrar pontos
onde as derivadas parciais (gradiente) se anulam — esses são os pontos críticos.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?
Um ponto é ponto crítico de
se o gradiente de
em
é o vetor zero (ou se alguma derivada parcial não existe). O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Um ponto
Intuição:
mede a variação de
quando movemos em
mantendo
fixo;
faz o análogo para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (passo a passo, como numa prova):
- Para
: tratar como constante e derivar em relação a . A derivada de é . O termo é constante em relação a , então sua derivada é . Logo,
- Para
: tratar como constante e derivar em relação a . A derivada de é . O termo é constante em relação a , então sua derivada é . Logo,
Passo 4
Encontrar os pontos onde o gradiente é zero (resolver o sistema):
isso equivale ao sistema
Resolvendo cada equação obtemos
Portanto existe exatamente um ponto crítico:
.
Passo 5
Classificar o ponto crítico (explicação do teste das segundas derivadas e interpretação):
- Calcular as segundas derivadas:
- A matriz Hessiana é
Para classificar um ponto crítico em
verifica-se se a Hessiana é definida positiva, definida negativa ou indefinida. Um jeito simples: checar os menores principais:
Como
e
, a Hessiana é definida positiva em todo lugar, portanto o ponto crítico
é um mínimo local.]
Passo 6
Mostrar que é mínimo global (intuição e prova curta):
A função é soma de quadrados com coeficientes positivos:
A função é soma de quadrados com coeficientes positivos:
e
somente quando
e
. Assim
atinge seu menor valor
em
. Portanto
é mínimo global.