Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = x i + y j,
C é o arco da parábola y = x^2 de (-1, 1) a (3,9)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Precisamos encontrar uma função tal que o campo vetorial . Isso significa que é o gradiente de . O gradiente é uma ferramenta da calculo vetorial que nos dá a direção de subida mais íngreme de uma função. Aqui, . Para resolver isso, vamos precisar integrar as componentes de em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , então:
Comparando com , temos:
Vamos integrar cada uma dessas derivadas parciais para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a , obtemos:
Aqui, é uma função que só depende de , já que quando derivamos em relação a , ela desaparece.

Passo 4

Agora, vamos usar a outra equação . Sabemos que:
Derivando em relação a :
Integrando isso em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Como a constante pode ser qualquer número, podemos simplificar e escrever a função da seguinte maneira.

Resposta

A função procurada é
onde é uma constante qualquer.

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