Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x + y^2) i + (2xy + y^2) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos vetoriais conservativos e gradientes. Vamos precisar verificar se as condições para conservatividade são atendidas e, se sim, integrar para achar a função potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função tal que . Para isso, uma condição necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo:
Como , a condição é satisfeita. Portanto, é um campo vetorial conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária de que surge da constante de integração.
Agora, vamos diferenciar em relação a e igualar à segunda equação para encontrar :
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a :
Finalmente, substituímos na expressão de :
Como é uma constante, podemos descartá-la para simplificação.

Resposta

A função potencial é .

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