utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=y i+x j,
C é o arco da curva y=x^4-x^3 de (1,0) a (2,8)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r ao longo da curva C, onde F(x, y) = y i + x j e C é o arco da curva y = x^4 - x^3 de (1,0) a (2,8). Para isso, vamos utilizar o conceito de campo conservativo e potenciais escalares.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, F = ( partial phipartial x, partial phipartial y ).

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = y e partial phipartial y = x
Integrando partial phipartial x = y em relação a x, obtemos:
phi(x, y) = yx + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 4

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y para igualar a segunda equação:
partial phipartial y = x + g'(y) = x
Isso implica que g'(y) = 0, portanto g(y) é uma constante. Podemos considerar g(y) = 0 para simplificar.

Passo 5

Então, a função potencial é:
phi(x, y) = xy
Como o campo F é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais.

Passo 6

Calculamos a integral usando a função potencial:
integralC F cdot d r = phi(2, 8) - phi(1, 0)
Substituindo os valores:
phi(2, 8) = 2 times 8 = 16
phi(1, 0) = 1 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 16.

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