Determine se F e um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial do campo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar se
é um campo vetorial conservativo. - Se for conservativo, encontrar uma função potencial para
.
As informações dadas são o campo
Vou chamar as componentes por
Passo 2
Conceito e critério (explicado passo a passo, sem pular etapas).
- Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função (chamada potencial) tal que
Isto significa que
- Um teste prático para verificar se
é conservativo (quando e têm derivadas parciais contínuas) é verificar se as derivadas mistas coincidam:
para todos os pontos do domínio. Se isso ocorrer e o domínio for simplesmente conexo (sem “buracos”), então
é conservativo.
Explicando termos:
- “Derivadas parciais contínuas” significa que
e têm derivadas em e que são funções contínuas — aqui isso vale porque e são muito suaves. - “Domínio simplesmente conexo” em
significa, intuitivamente, que o conjunto onde o campo está definido não tem buracos; inteiro é simplesmente conexo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (faço passo a passo, mostrando como derivar):
- Derivada de
em relação a :
Aqui
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, então
- Derivada de
em relação a :
Aqui
é constante ao derivar em
, então
Passo 4
Comparando os resultados:
Portanto as derivadas mistas são iguais em todo ponto do domínio.
Além disso, o campo está definido para todos
, e
é simplesmente conexo. Logo, pelo critério,
é um campo conservativo.
Passo 5
Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial
. Começo usando a relação
Integro essa equação em relação a
(tratando
como constante). A integração é:
Como
é constante em relação a
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Assim temos
Passo 6
Determinar
usando a outra igualdade
.
Calculo
a partir da expressão encontrada:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, sobrou
Integrando em relação a
obtemos
, uma constante real.
Passo 7
Portanto uma função potencial é
onde
é uma constante arbitrária.
Verificação rápida (pra ficar seguro): calcule as derivadas
logo
, conferindo que a solução está correta.
Força aí — você já tem o critério, os cálculos e a função potencial pronta para usar na prova.
Resposta
Sim, é conservativo.