Determine se F e um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial do campo.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x} \cos y \mathbf{i}-e^{x} \operatorname{sen} y \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo.
  • Se for conservativo, encontrar uma função potencial para \mathbf{F}.
As informações dadas são o campo
\mathbf{F}(x,y)=e^{x}\cos y\,\mathbf{i}-e^{x}\operatorname{sen}y\,\mathbf{j}.
Vou chamar as componentes por
P(x,y)=e^{x}\cos y,\qquad Q(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen}y.

Passo 2

Conceito e critério (explicado passo a passo, sem pular etapas).
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existir uma função \varphi(x,y) (chamada potencial) tal que
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)= (P,Q).
Isto significa que
\phi_x(x,y)=P(x,y)\quad\text{e}\quad \phi_y(x,y)=Q(x,y).
  • Um teste prático para verificar se \mathbf{F} é conservativo (quando P e Q têm derivadas parciais contínuas) é verificar se as derivadas mistas coincidam:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)
para todos os pontos do domínio. Se isso ocorrer e o domínio for simplesmente conexo (sem “buracos”), então \mathbf{F} é conservativo.
Explicando termos:
  • “Derivadas parciais contínuas” significa que P e Q têm derivadas em x e y que são funções contínuas — aqui isso vale porque e^{x}\cos y e e^{x}\sin y são muito suaves.
  • “Domínio simplesmente conexo” em \mathbb{R}^2 significa, intuitivamente, que o conjunto onde o campo está definido não tem buracos; \mathbb{R}^2 inteiro é simplesmente conexo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (faço passo a passo, mostrando como derivar):
  • Derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big).
Aqui e^{x} é tratado como constante quando derivamos em relação a y, então
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)=e^{x}\cdot(-\operatorname{sen}y)=-e^{x}\operatorname{sen}y.
  • Derivada de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{x}\operatorname{sen}y\big).
Aqui \operatorname{sen}y é constante ao derivar em x, então
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=-\operatorname{sen}y\cdot\frac{d}{dx}(e^{x})=-\operatorname{sen}y\cdot e^{x}=-e^{x}\operatorname{sen}y.

Passo 4

Comparando os resultados:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen}y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen}y.
Portanto as derivadas mistas são iguais em todo ponto do domínio.
Além disso, o campo está definido para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2, e \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo. Logo, pelo critério, \mathbf{F} é um campo conservativo.

Passo 5

Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y). Começo usando a relação
\phi_x(x,y)=P(x,y)=e^{x}\cos y.
Integro essa equação em relação a x (tratando y como constante). A integração é:
\varphi(x,y)=\int e^{x}\cos y\,dx.
Como \cos y é constante em relação a x,
\varphi(x,y)=\cos y\int e^{x}\,dx=\cos y\cdot e^{x}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Assim temos
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + h(y).

Passo 6

Determinar h(y) usando a outra igualdade \phi_y=Q.
Calculo \phi_y a partir da expressão encontrada:
\phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y + h(y)\big)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)+h'(y)=-e^{x}\operatorname{sen}y + h'(y).
Mas sabemos que \phi_y(x,y) deve ser igual a Q(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen}y. Igualando:
-e^{x}\operatorname{sen}y + h'(y) = -e^{x}\operatorname{sen}y.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, sobrou
h'(y)=0.
Integrando em relação a y obtemos h(y)=C, uma constante real.

Passo 7

Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + C,
onde C é uma constante arbitrária.
Verificação rápida (pra ficar seguro): calcule as derivadas
\phi_x = e^{x}\cos y = P,\qquad \phi_y = -e^{x}\operatorname{sen}y = Q,
logo \nabla\varphi=\mathbf{F}, conferindo que a solução está correta.
Força aí — você já tem o critério, os cálculos e a função potencial pronta para usar na prova.

Resposta

Sim, é conservativo.
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y + C

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