3^{a} a) (0,5 p.) Mostre que y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluçōes da equação
x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 .
b) (1,0 p.) Determine a solução geral de x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0.
Dica: Se W=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}^{\prime}(x) & y_{2}^{\prime}(x)\end{array}\right) \neq 0, então \left\{y_{1}, y_{2}\right\} é um conjunto linearmente independente.
c) (1,0 p.) Obtenha a solução do Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 ; \\\ y(1)=3 ; \\\ y^{\prime}(1)=3 . \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • A equação diferencial dada é x^{2}y''-6x y'+10y=0.
  • Perguntas:(a) Mostrar que \;y_{1}(x)=x^{2}\;\) e \(\;y_{2}(x)=x^{5}\;\) são soluções da equação. (b) Determinar a solução geral da equação diferencial. \text{(c)} Resolver o problema de valor inicial \[\begin{cases} x^{2}y''-6x y'+10y=0,\\[4pt] y(1)=3,\\[4pt] y'(1)=3. \end{cases}
  • Dica fornecida: se o Wronskiano \;W=\det\!\begin{pmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{pmatrix}\neq0\;\], então \(\{y_{1},y_{2}\} é linearmente independente.]

Passo 2

Verificar que \;y_{1}(x)=x^{2}\; é solução calculando derivadas e substituindo.
  • Derivadas: y_{1}'(x)=2x,\qquad y_{1}''(x)=2.
  • Substituição na equação: x^{2}\cdot 2 -6x\cdot(2x)+10\cdot x^{2} =2x^{2}-12x^{2}+10x^{2}=0.
Portanto \;y_{1}(x)=x^{2}\; satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Verificar que \;y_{2}(x)=x^{5}\; é solução calculando derivadas e substituindo.
  • Derivadas: y_{2}'(x)=5x^{4},\qquad y_{2}''(x)=20x^{3}.
  • Substituição na equação: x^{2}\cdot 20x^{3}-6x\cdot(5x^{4})+10\cdot x^{5} =20x^{5}-30x^{5}+10x^{5}=0.
Portanto \;y_{2}(x)=x^{5}\; também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Explicar o método geral usado (para eu saber como aplicar em prova): tentar uma solução do tipo \;y(x)=x^{r}\;.
  • Se \;y=x^{r}\; então y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
  • Substituindo em \;x^{2}y''-6x y'+10y=0\; obtemos x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2}-6x\cdot r x^{r-1}+10x^{r}=0.
  • Fatorando x^{r} (assumindo x\neq0) dá a equação característica r(r-1)-6r+10=0.
  • Simplificando: r^{2}-r-6r+10=r^{2}-7r+10=0.
  • Essa é uma equação quadrática que fatoriza: r^{2}-7r+10=(r-2)(r-5)=0,então \;r=2\; ou \;r=5\;. Isso explica por que x^{2} e x^{5} são soluções.

Passo 5

Mostrar que \{x^{2},x^{5}\} é um conjunto linearmente independente usando o Wronskiano.
  • Calcular o Wronskiano: W(x)=\det\begin{pmatrix}x^{2} & x^{5}\\[4pt] 2x & 5x^{4}\end{pmatrix} =x^{2}\cdot 5x^{4}-x^{5}\cdot 2x=5x^{6}-2x^{6}=3x^{6}.
  • Como \;W(x)=3x^{6}\neq0 para todo x\neq0, as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo não contendo zero.
  • Conclusão: a solução geral (para x\neq0) é a combinação linear das duas soluções independentes: y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5},onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.]

Passo 6

Resolver o problema de valor inicial aplicando as condições em x=1.
  • A solução geral é \;y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5}.
  • Derivando: y'(x)=2C_{1}x+5C_{2}x^{4}.
  • Impondo as condições em x=1: y(1)=C_{1}+C_{2}=3,
y'(1)=2C_{1}+5C_{2}=3.
  • Resolver o sistema linear:
    • Da primeira equação \;C_{1}=3-C_{2}.
    • Substituindo na segunda: 2(3-C_{2})+5C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 6-2C_{2}+5C_{2}=3.
6+3C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 3C_{2}=-3 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.
  • Então \;C_{1}=3-(-1)=4.
  • Portanto a solução do PVI é y(x)=4x^{2}-x^{5}.

Resposta

(a) y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluções da equação.
(b) y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} (para x\neq0).
(c) Para o PVI: y(x)=4x^{2}-x^{5}.

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