3^{a} a) (0,5 p.) Mostre que y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluçōes da equação
x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 .
b) (1,0 p.) Determine a solução geral de x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0.
Dica: Se W=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}^{\prime}(x) & y_{2}^{\prime}(x)\end{array}\right) \neq 0, então \left\{y_{1}, y_{2}\right\} é um conjunto linearmente independente.
c) (1,0 p.) Obtenha a solução do Problema de Valor Inicial
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
A equação diferencial dada é x^{2}y''-6x y'+10y=0.
Perguntas:(a) Mostrar que \;y_{1}(x)=x^{2}\;\) e \(\;y_{2}(x)=x^{5}\;\) são soluções da equação.
(b) Determinar a solução geral da equação diferencial.
\text{(c)} Resolver o problema de valor inicial
\[\begin{cases} x^{2}y''-6x y'+10y=0,\\[4pt] y(1)=3,\\[4pt] y'(1)=3. \end{cases}
Dica fornecida: se o Wronskiano \;W=\det\!\begin{pmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{pmatrix}\neq0\;\], então \(\{y_{1},y_{2}\} é linearmente independente.]
Passo 2
Verificar que \;y_{1}(x)=x^{2}\; é solução calculando derivadas e substituindo.
Derivadas:y_{1}'(x)=2x,\qquad y_{1}''(x)=2.
Substituição na equação:x^{2}\cdot 2 -6x\cdot(2x)+10\cdot x^{2} =2x^{2}-12x^{2}+10x^{2}=0.
Portanto \;y_{1}(x)=x^{2}\; satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Verificar que \;y_{2}(x)=x^{5}\; é solução calculando derivadas e substituindo.
Como \;W(x)=3x^{6}\neq0 para todo x\neq0, as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo não contendo zero.
Conclusão: a solução geral (para x\neq0) é a combinação linear das duas soluções independentes:y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5},onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.]
Passo 6
Resolver o problema de valor inicial aplicando as condições em x=1.
A solução geral é \;y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5}.
Derivando:y'(x)=2C_{1}x+5C_{2}x^{4}.
Impondo as condições em x=1:y(1)=C_{1}+C_{2}=3,
y'(1)=2C_{1}+5C_{2}=3.
Resolver o sistema linear:
Da primeira equação \;C_{1}=3-C_{2}.
Substituindo na segunda:2(3-C_{2})+5C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 6-2C_{2}+5C_{2}=3.
(a) y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluções da equação.
(b) y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} (para x\neq0).
(c) Para o PVI: y(x)=4x^{2}-x^{5}.