Determine se F e um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial do campo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
As perguntas são:
- Determinar se
é um campo conservativo (isto é, se existe função potencial tal que ). - Se for conservativo, encontrar a função potencial
.
Informações importantes que temos: a expressão explícita das componentes de
em todos os pontos
. Vou usar isso nas contas a seguir.
Passo 2
O que significa ser um campo conservativo (explicação didática)?
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar (função potencial) com
- Uma consequência prática (e muito usada em provas) é o teste das derivadas cruzadas: se
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo (por exemplo ), então é conservativo se, e somente se,
Explicando o que é cada coisa:
significa derivar a função
com respeito à variável
, tratando
como constante;
é análogo.
Vou aplicar esse teste ao campo dado.
Passo 3
Identificar
e
e calcular
.
Aqui
Calcular
: trate
como constante e derive
em relação a
. A derivada de
é
, então
(Isto é:
de
=
.)
Passo 4
Calcular
: trate
como constante e derive
em relação a
. A derivada de
é
, e
é constante no diferencial, logo
Passo 5
Comparar as derivadas cruzadas e concluir.
Temos
Para que
fosse conservativo em um domínio aberto onde as derivadas são contínuas (por exemplo
), seria necessário que
para todo ponto
do domínio. Mas isso não é verdade para todos os
de
(por exemplo, em
temos
e
, que são diferentes). Portanto as derivadas cruzadas não coincidem em geral.
Como o domínio natural do campo é todo
, que é simplesmente conexo, a falha da igualdade
em qualquer ponto impede que
seja conservativo em
. Em outras palavras, não existe função potencial
definida em todo
com
.
Observação útil (para a prova): a condição
é tanto necessária quanto suficiente em domínios abertos e simplesmente conexos. Aqui a condição necessária falha, então já basta para concluir.
Passo 6
Resumo motivador: não adianta tentar integrar
em
e igualar com a derivada em
de uma provável
, porque o teste das derivadas cruzadas já mostrou incompatibilidade global. Isso poupa trabalho na prova e é a maneira padrão de responder a essa pergunta: calcule as derivadas parciais cruzadas e compare.