Determine se F e um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial do campo.
\mathbf{F}(x, y)=x^{2} y \mathbf{i}+5 x y^{2} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=x^{2}y\,\mathbf{i}+5xy^{2}\,\mathbf{j}
As perguntas são:
  • Determinar se \mathbf{F} é um campo conservativo (isto é, se existe função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}).
  • Se for conservativo, encontrar a função potencial \varphi.
Informações importantes que temos: a expressão explícita das componentes de \mathbf{F} em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2. Vou usar isso nas contas a seguir.

Passo 2

O que significa ser um campo conservativo (explicação didática)?
  • Um campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (função potencial) com
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
  • Uma consequência prática (e muito usada em provas) é o teste das derivadas cruzadas: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo (por exemplo \mathbb{R}^2), então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em todo o domínio}.í
Explicando o que é cada coisa: \partial P/\partial y significa derivar a função P(x,y) com respeito à variável y, tratando x como constante; \partial Q/\partial x é análogo.
Vou aplicar esse teste ao campo dado.

Passo 3

Identificar P e Q e calcular \partial P/\partial y.
Aqui
P(x,y)=x^{2}y,\qquad Q(x,y)=5xy^{2}.
Calcular \partial P/\partial y: trate x como constante e derive x^{2}y em relação a y. A derivada de y é 1, então
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=x^{2}.
(Isto é: \partial/\partial y de x^{2}y = x^{2}\cdot 1 = x^{2}.)

Passo 4

Calcular \partial Q/\partial x: trate y como constante e derive 5xy^{2} em relação a x. A derivada de x é 1, e y^{2} é constante no diferencial, logo
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=5y^{2}.

Passo 5

Comparar as derivadas cruzadas e concluir.
Temos
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=x^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=5y^{2}.
Para que \mathbf{F} fosse conservativo em um domínio aberto onde as derivadas são contínuas (por exemplo \mathbb{R}^2), seria necessário que x^{2}=5y^{2} para todo ponto (x,y) do domínio. Mas isso não é verdade para todos os (x,y) de \mathbb{R}^2 (por exemplo, em (1,0) temos x^{2}=1 e 5y^{2}=0, que são diferentes). Portanto as derivadas cruzadas não coincidem em geral.
Como o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, a falha da igualdade \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em qualquer ponto impede que \mathbf{F} seja conservativo em \mathbb{R}^2. Em outras palavras, não existe função potencial \varphi definida em todo \mathbb{R}^2 com \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Observação útil (para a prova): a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x é tanto necessária quanto suficiente em domínios abertos e simplesmente conexos. Aqui a condição necessária falha, então já basta para concluir.

Passo 6

Resumo motivador: não adianta tentar integrar P em x e igualar com a derivada em y de uma provável \varphi, porque o teste das derivadas cruzadas já mostrou incompatibilidade global. Isso poupa trabalho na prova e é a maneira padrão de responder a essa pergunta: calcule as derivadas parciais cruzadas e compare.

Resposta

\mathbf{F} não é conservativo em \mathbb{R}^2.

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