Determine f^{-1}, onde:
f(x)=\frac{1}{x^{5}}.

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de f(x)=\frac{1}{x^{5}}. Esse é um exercício de inversão de função: para isso precisamos verificar domínio e codomínio de f e então resolver a equação y=f(x) para x.

Passo 2

A função f está definida para todo x\neq0, e como x\mapsto x^{5} é bijetivo em \mathbb{R}, segue que f\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\} também é bijetiva. Logo, existe inversa.

Passo 3

Escrevemos
y = \frac{1}{x^{5}}
e queremos isolar x. Multiplicando ambos os lados por x^{5} e depois invertendo, obtemos
x^{5} = \frac{1}{y}
e, extraindo a raiz quinta (única real por ser grau ímpar),
x = \sqrt[5]{\frac{1}{y}}.

Passo 4

Para escrever a inversa, trocamos y por x. Assim,
f^{-1}(x) = \sqrt[5]{\frac{1}{x}} = x^{-\tfrac{1}{5}},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

f^{-1}(x) = x^{-\tfrac{1}{5}}, para x\neq0.

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