Determine o menor valor possível para a \in \mathbb{R}, de modo que a função f(x)=x^{2}-4 x+3, x \geq a, seja invertível.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^{2}-4x+3 definida em [a,\infty) e queremos que ela seja invertível. Sabemos que, para uma função ser invertível, ela precisa ser injetora, o que para funções diferenciáveis se verifica se ela for estritamente monotônica no domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=2x-4.
Para que f seja crescente (e, portanto, injetora) em [a,\infty), precisamos ter
f'(x)\ge0\quad\text{para todo }x\ge a,
isto é,
2x-4\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge2.
Logo, o domínio deve começar em a=2 (ou maior) para eliminar a parte decrescente da parábola.

Passo 3

Concluímos que o menor valor de a que garante a invertibilidade de f em [a,\infty) é
a=2.

Resposta

2

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