Determine f^{-1}, onde:
f(x)=\frac{x}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da função
f(x)=\frac{x}{x+1}.
O conteúdo aqui é inversão de função: vamos definir y=f(x) e resolver essa equação para x, obtendo uma expressão de x em função de y.

Passo 2

Definimos
y=\frac{x}{x+1}.
Multiplicamos ambos os lados por (x+1) para eliminar o denominador:
y\,(x+1)=x.

Passo 3

Distributindo em \,y\,(x+1)=yx+y e passando os termos em x para um mesmo lado, temos
yx + y = x \quad\Longrightarrow\quad yx - x = -\,y \quad\Longrightarrow\quad x\,(y-1) = -\,y.
Logo, isolando x,
x = \frac{-\,y}{y-1} = \frac{y}{1-y}.
Assim, a inversa f^{-1} em função de y é
f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}.

Passo 4

Devemos verificar o domínio de f^{-1}. Como há divisão por (1-y), fica y\neq1. Esse fato coincide com a imagem de f (que é \mathbb{R}\setminus\{1\}).

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x},\quad x\neq1.

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