Determine f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime} :
f(x)=4 x^{2}+x+5

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira, segunda e terceira da função
f(x) = 4x^{2} + x + 5.
O conteúdo principal aqui é a regra de potência para derivadas de polinômios, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(ax^{n}\bigr) = nax^{n-1}
e que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Para obter f'(x), aplicamos a regra de potência termo a termo:
  • Derivada de 4x^{2} é 2\cdot4x^{2-1}=8x.
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de 5 é 0.
f'(x) = 8x + 1

Passo 3

Para f''(x), derivamos f'(x)=8x+1:
  • Derivada de 8x é 8.
  • Derivada de 1 é 0.
f''(x) = 8

Passo 4

Para f'''(x), derivamos f''(x)=8, que é constante, logo:
f'''(x) = 0

Resposta

f'(x) = 8x + 1,
f''(x) = 8,
f'''(x) = 0.

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