Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função:
y=\frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x} em x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = \frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x}
no ponto em que
x_0 = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
O que precisamos é (1) calcular y_0 = y(x_0), (2) obter a derivada y'(x) por regra do quociente e cadeia, (3) avaliar y'(x_0) para achar o coeficiente angular m, e (4) montar a equação da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos o valor de y no ponto x_0:
y_0 = y\!\bigl(x_0\bigr) = \frac{\sin\bigl(x_0^2\bigr)}{x_0} = \frac{\sin\!\bigl(\pi/2\bigr)}{\sqrt{\pi/2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi/2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente em
y(x) = \frac{\sin\bigl(x^2\bigr)}{x}.
Temos
y'(x) = \frac{x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x^2)\bigr] \;-\;\sin(x^2)\cdot\frac{d}{dx}[x]}{x^2} = \frac{x\cdot\bigl(2x\cos(x^2)\bigr)\;-\;\sin(x^2)\cdot1}{x^2} = \frac{2x^2\cos(x^2)-\sin(x^2)}{x^2}.
Simplificando,
y'(x) = 2\cos\bigl(x^2\bigr)\;-\;\frac{\sin\bigl(x^2\bigr)}{x^2}.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x_0:
y'\bigl(x_0\bigr) = 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{\bigl(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)^{2}} = 2\cdot0 \;-\; \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}.
Portanto, o coeficiente angular é
m = -\frac{2}{\pi}.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - y_0 = m\bigl(x - x_0\bigr).
Substituindo y_0=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}, m=-\tfrac{2}{\pi} e x_0=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}},
y - \sqrt{\frac{2}{\pi}} = -\frac{2}{\pi}\Bigl(x - \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\Bigr).

Resposta

y - \sqrt{\frac{2}{\pi}} = -\frac{2}{\pi}\Bigl(x - \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\Bigr).

Exercícios relacionados