Determine f^{\prime}, f^{\prime \prime} e f^{\prime \prime \prime} :
f(x)=4 x^{4}+5 x^{3}+2

Passo 1

O enunciado pede f', f'' e f''' para a função
f(x)=4x^{4}+5x^{3}+2.
O conteúdo é derivação de polinômios. Vamos usar a regra de potência \displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1},
a linearidade da derivada (derivada de soma é soma das derivadas) e que a derivada de constante é zero.

Passo 2

Para obter f'(x), aplicamos a regra a cada termo de f:
f'(x) =\frac{d}{dx}(4x^{4})+\frac{d}{dx}(5x^{3})+\frac{d}{dx}(2) =4\cdot4x^{3}+5\cdot3x^{2}+0 =16x^{3}+15x^{2}.

Passo 3

Para f''(x), derivamos f'(x):
f''(x) =\frac{d}{dx}(16x^{3}+15x^{2}) =16\cdot3x^{2}+15\cdot2x =48x^{2}+30x.

Passo 4

Para f'''(x), derivamos f''(x):
f'''(x) =\frac{d}{dx}(48x^{2}+30x) =48\cdot2x+30\cdot1 =96x+30.

Resposta

f'(x)=16x^{3}+15x^{2} f''(x)=48x^{2}+30x f'''(x)=96x+30

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