Determine f^{\prime}(-3), sabendo-se que f e g são deriváveis e que f(x)=x^{2}-\sqrt{1-g^{2}(x)} e g(x)=\frac{x+1}{x-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular f'(-3).
  • Foi dado que f e g são funções deriváveis.
  • Foi dada a expressão de f:
f(x)=x^{2}-\sqrt{1-g^{2}(x)}
  • Foi dada a expressão de g:
g(x)=\frac{x+1}{x-1}.
Resumo: precisamos derivar f em termos de x usando as expressões acima e então avaliar essa derivada em x=-3.

Passo 2

Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
  • Derivada da soma/diferença e da potência simples:
    • Se h(x)=x^{2} então h'(x)=2x. Aqui 2x significa "duas vezes a variável x".
  • Regra da cadeia (chain rule):
    • Se H(x)=\Phi(\psi(x)), então
    H'(x)=\Phi'(\psi(x))\cdot \psi'(x).Ou seja, deriva-se a função externa \Phi avaliada na interna \psi(x) e multiplica-se pela derivada da interna \psi'(x).
    • Exemplo pequeno: se \Phi(u)=\sqrt{u} e \psi(x)=1-x^{2}, então \Phi'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} e por regra da cadeia
    \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Derivada da raiz quadrada:
    • Se \Phi(u)=\sqrt{u} (com u>0), então
    \Phi'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Regra do quociente:
    • Se g(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com q(x)\neq0, então
    g'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
    • Exemplinho: para p(x)=x+1 e q(x)=x-1, p'(x)=1, q'(x)=1.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Vamos derivar f(x)=x^{2}-\sqrt{1-g^{2}(x)} em forma simbólica.
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • Para a derivada de \sqrt{1-g^{2}(x)} aplicamos regra da cadeia. Seja h(x)=1-g^{2}(x).Então \sqrt{1-g^{2}(x)}=(h(x))^{1/2} e, pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}\sqrt{h(x)}=\frac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}}.Agora calcule h'(x). Como h(x)=1-g^{2}(x), h'(x)=-2g(x)\,g'(x).Substituindo em \dfrac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}} obtemos \frac{d}{dx}\sqrt{1-g^{2}(x)}=\frac{-2g(x)g'(x)}{2\sqrt{1-g^{2}(x)}}=-\frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{1-g^{2}(x)}}.
  • Como f(x)=x^{2}-\sqrt{1-g^{2}(x)}, juntando as derivadas: f'(x)=2x-\left(-\frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{1-g^{2}(x)}}\right)=2x+\frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{1-g^{2}(x)}}.
Portanto já temos a fórmula geral:
f'(x)=2x+\frac{g(x)g'(x)}{\sqrt{1-g^{2}(x)}}.

Passo 4

Agora precisamos de g'(x) para poder avaliar f'(x). Vamos derivar
g(x)=\frac{x+1}{x-1}.
Aplicando a regra do quociente com p(x)=x+1 e q(x)=x-1:
g'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^{2}}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}.
Então
g'(x)=-\frac{2}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Vamos avaliar g e g' em x=-3.
  • Calcular g(-3): g(-3)=\frac{-3+1}{-3-1}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}.
  • Calcular g'(-3) usando g'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}: g'(-3)=-\frac{2}{(-3-1)^{2}}=-\frac{2}{(-4)^{2}}=-\frac{2}{16}=-\frac{1}{8}.

Passo 6

Calcular \sqrt{1-g^{2}(-3)}. Como g(-3)=\dfrac{1}{2},
1-g^{2}(-3)=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
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\sqrt{1-g^{2}(-3)}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Calcular o termo \dfrac{g(-3)g'(-3)}{\sqrt{1-g^{2}(-3)}}.
  • Primeiro o produto g(-3)g'(-3)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\dfrac{1}{16}.
  • Dividindo pela raiz \dfrac{\sqrt{3}}{2}: \frac{-\dfrac{1}{16}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{8\sqrt{3}}.

Passo 8

Finalmente, avaliar f'(-3) usando a fórmula f'(x)=2x+\dfrac{g(x)g'(x)}{\sqrt{1-g^{2}(x)}}.
  • O primeiro termo é 2x com x=-3: 2(-3)=-6.
  • O segundo termo (calculado no passo anterior) é -\dfrac{1}{8\sqrt{3}}.
Somando:
f'(-3)=-6-\frac{1}{8\sqrt{3}}.

Resposta

-6-\dfrac{1}{8\sqrt{3}}

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