Determine
, sabendo-se que
e
são deriváveis e que
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular
. - Foi dado que
e são funções deriváveis. - Foi dada a expressão de
:
- Foi dada a expressão de
:
Resumo: precisamos derivar
em termos de
usando as expressões acima e então avaliar essa derivada em
.
Passo 2
Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
- Derivada da soma/diferença e da potência simples:
- Se
então . Aqui significa "duas vezes a variável ".
- Se
- Regra da cadeia (chain rule):
- Se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa avaliada na interna e multiplica-se pela derivada da interna . - Exemplo pequeno: se
e , então e por regra da cadeia
- Se
- Derivada da raiz quadrada:
- Se
(com ), então
- Se
- Regra do quociente:
- Se
com , então
- Exemplinho: para
e , , .
- Se
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Vamos derivar
em forma simbólica.
- A derivada de
é . - Para a derivada de
aplicamos regra da cadeia. Seja Então e, pela regra da cadeia, Agora calcule . Como , Substituindo em obtemos - Como
, juntando as derivadas:
Portanto já temos a fórmula geral:
Passo 4
Agora precisamos de
para poder avaliar
. Vamos derivar
Aplicando a regra do quociente com
e
:
Então
Passo 5
Vamos avaliar
e
em
.
- Calcular
: - Calcular
usando :
Passo 6
Calcular
. Como
,
logo
Passo 7
Calcular o termo
.
- Primeiro o produto
. - Dividindo pela raiz
:
Passo 8
Finalmente, avaliar
usando a fórmula
.
- O primeiro termo é
com : . - O segundo termo (calculado no passo anterior) é
.
Somando: