Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{2 \operatorname{sen}\left(x^{2}+2 x\right)-3}{\cos \left(x^{3}\right)+1} \quad no ponto x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)-3}{\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+1}
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa x_{0}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f está explicitamente dada acima.
  • O ponto em que queremos a tangente tem x_{0}=0.
  • Para escrever a reta tangente precisamos de:
    1. O ponto do gráfico correspondente, isto é, a ordenada f(0).
    2. A declividade (coeficiente angular) igual a f'(0), a derivada de f no ponto 0.

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto: f(0).
Avaliar a função em x=0. Primeiro calcular as partes trigonométricas em 0:
\operatorname{sen}\!\bigl(0^{2}+2\cdot0\bigr)=\operatorname{sen}(0)=0, \qquad \cos\!\bigl(0^{3}\bigr)=\cos(0)=1.
Substituindo na expressão de f:
f(0)=\frac{2\cdot 0 - 3}{1+1}=\frac{-3}{2}.
Portanto o ponto do gráfico onde queremos a tangente é \bigl(0,\,-\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 3

Precisamos agora de f'(x). Vou explicar as regras que vamos usar:
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Isto vem da definição de derivada e é uma fórmula padrão: a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta h(x)=g\bigl(p(x)\bigr), então
h'(x)=g'\bigl(p(x)\bigr)\cdot p'(x).
Isto significa que derivamos a função externa g em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada do argumento p(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
Agora aplico isso ao nosso caso. Defino
u(x)=2\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)-3, \qquad v(x)=\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+1.
Vamos achar u'(x) e v'(x) usando regra da cadeia.
Derivada de u:
  • A constante -3 some na derivada.
  • Para 2\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+2x\bigr), a derivada é 2 vezes a derivada de \operatorname{sen}\bigl(x^{2}+2x\bigr).
    Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x\bigr).
E \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2x+2=2(x+1). Logo
u'(x)=2\cdot \cos\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)\cdot 2(x+1)=4(x+1)\cos\!\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Derivada de v:
  • A constante +1 soma zero na derivada.
  • Para \cos\bigl(x^{3}\bigr), pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)=-\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}(x^{3})=-\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.
Logo
v'(x)=-3x^{2}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr).
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{4(x+1)\cos\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)\,\bigl(\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+1\bigr) -\bigl(2\sin\!\bigl(x^{2}+2x\bigr)-3\bigr)\bigl(-3x^{2}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)} {\bigl(\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)+1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=0 para obter o coeficiente angular da tangente.
Primeiro calcule as partes em x=0 (já usamos algumas antes):
\cos\!\bigl(0^{2}+2\cdot0\bigr)=\cos(0)=1, \qquad \sin\!\bigl(0^{2}+2\cdot0\bigr)=\sin(0)=0,
\cos\!\bigl(0^{3}\bigr)=\cos(0)=1, \qquad \sin\!\bigl(0^{3}\bigr)=\sin(0)=0.
Agora cada derivada parcial em 0:
u'(0)=4(0+1)\cos(0)=4\cdot1\cdot1=4,
v(0)=\cos(0)+1=1+1=2,
u(0)=2\sin(0)-3=-3,
v'(0)=-3\cdot 0^{2}\sin(0)=0.
Substituindo na fórmula do quociente em x=0:
f'(0)=\frac{u'(0)\,v(0)-u(0)\,v'(0)}{v(0)^{2}}=\frac{4\cdot 2 - (-3)\cdot 0}{2^{2}}=\frac{8}{4}=2.
Portanto a inclinação da reta tangente em x_{0}=0 é m=f'(0)=2.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=\bigl(0,-\tfrac{3}{2}\bigr) e m=2.
Substituindo:
y+\tfrac{3}{2}=2(x-0)\quad\Rightarrow\quad y=2x-\tfrac{3}{2}.

Resposta

y=2x-\tfrac{3}{2}

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