Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
está explicitamente dada acima. - O ponto em que queremos a tangente tem
. - Para escrever a reta tangente precisamos de:
- O ponto do gráfico correspondente, isto é, a ordenada
. - A declividade (coeficiente angular) igual a
, a derivada de no ponto .
- O ponto do gráfico correspondente, isto é, a ordenada
Passo 2
Calcular a ordenada do ponto:
.
Avaliar a função em
. Primeiro calcular as partes trigonométricas em
:
Substituindo na expressão de
:
Portanto o ponto do gráfico onde queremos a tangente é
.
Passo 3
Precisamos agora de
. Vou explicar as regras que vamos usar:
- Regra do quociente: se
então
Isto vem da definição de derivada e é uma fórmula padrão: a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
- Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
Isto significa que derivamos a função externa
em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada do argumento
.
- Derivadas trigonométricas básicas:
Agora aplico isso ao nosso caso. Defino
Vamos achar
e
usando regra da cadeia.
Derivada de
:
- A constante
some na derivada. - Para
, a derivada é vezes a derivada de .
Pela regra da cadeia:
E
. Logo
Derivada de
:
- A constante
soma zero na derivada. - Para
, pela regra da cadeia:
Logo
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Avaliar
em
para obter o coeficiente angular da tangente.
Primeiro calcule as partes em
(já usamos algumas antes):
Agora cada derivada parcial em
:
Substituindo na fórmula do quociente em
:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 5
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
onde
e
.
Substituindo: