Determine f^prime(a), usando a definição de derivada.
f(x)=x^-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,f'(a) sendo f(x)=x^-2, usando a definição de derivada. O conteúdo necessário é a definição
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e técnicas de álgebra para simplificar a diferença de frações.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada:
f'(a)=limxto ax^-2-a^-2x-a

Passo 3

Escrevemos o numerador como diferença de frações com denominadores comuns:
x^-2-a^-2 =1x^2-1a^2 =a^2-x^2x^2a^2
Então
x^-2-a^-2x-a =a^2-x^2x^2a^2(x-a)

Passo 4

Note que a^2-x^2=-(x^2-a^2)=-(x-a)(x+a). Logo,
a^2-x^2x^2a^2(x-a) =-(x-a)(x+a)x^2a^2(x-a) =-x+ax^2a^2,
onde o fator (x-a) foi cancelado (válido para xneq a).

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando xto a:
f'(a) =limxto al(-x+ax^2a^2r) =-a+aa^2a^2 =-2aa^4 =-2a^-3

Resposta

f'(a)=-2a^-3

Exercícios relacionados