Encontre os valores máximo/mínimo locais a absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x-ln x, em [1 / 2,2].

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos locais e absolutos de
f(x)=x - ln x
no intervalo l[,tfrac12,2r].
Para isso vamos usar derivadas para encontrar pontos críticos, depois classificar esses pontos e avaliar também as bordas do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=1 - 1x = x-1x

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
x-1x=0 Longrightarrow x=1
Não há outra solução em l(tfrac12,2r).

Passo 4

Para classificar o ponto x=1 usamos a segunda derivada:
f''(x)=1x^2>0para todo x>0
Como f''(1)>0, x=1 é ponto de mínimo local.
Nos extremos do intervalo avaliamos o sinal de f':
  • Em x=tfrac12: f'(tfrac12)=1-2=-1<0, logo à direita de tfrac12 a função decresce, o que faz de x=tfrac12 um máximo local.
  • Em x=2: f'(2)=1-tfrac12=+tfrac12>0, logo à esquerda de 2 a função cresce, o que faz de x=2 outro máximo local.

Passo 5

Agora avaliamos f nos três pontos candidatos x=tfrac12,1,2:
fl(tfrac12r) =tfrac12-lnl(tfrac12r) =tfrac12+ln2,
f(1) =1-ln1 =1,
f(2) =2-ln2

Passo 6

Comparamos os valores:
fl(tfrac12r)=tfrac12+ln2approx1,193, f(1)=1, f(2)=2-ln2approx1,307
O menor valor é f(1)=1 e o maior é f(2)=2-ln2.

Resposta

Mínimo local (e absoluto) em x=1 com f(1)=1.
Máximos locais em x=tfrac12 com f(tfrac12)=tfrac12+ln2 e em x=2 com f(2)=2-ln2.
Máximo absoluto em x=2 com valor 2-ln2.

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