• (Questão 01)[2,0 pontos] Assinale F para as afirmações FALSAS e V para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
    (v) u perp v Longrightarrow operatornameprojv u=0;
    (v) (u, v) LD Rightarrow(u, v, w) LD
    (x) Sé (u, v, w) é LI, então [u, v, w] neq 0;
    (x) (u, v, w) LD, então u / / v / / w
    (↓) Se ( u, v, w ) é LD, então ( u, v ) tanto pode ser LD como LI.’

Passo 1

O enunciado pede para marcar com V (verdadeiro) ou F (falso) cinco afirmações sobre projeção ortogonal, dependência linear e produto misto. O conteúdo envolve:
  1. Projeção de vetores perpendiculares.
  2. Relações entre pares e trios de vetores em termos de dependência linear.
  3. Produto misto ( [u,v,w]) e sua relação com independência linear.

Passo 2

Analisando uperpv. Por definição, se dois vetores são ortogonais, sua projeção um sobre o outro é o vetor nulo, logo
uperpv;Longrightarrow;projvu=0,
que é verdadeiro.

Passo 3

Analisando a implicação
(u,v) LD;Longrightarrow;(u,v,w) LD
Se u e v são LD, eles são colineares, mas ao incluir w não há garantia de dependência se w trouxer uma direção nova. Portanto é falso.

Passo 4

Analisando
(u,v,w) LI;Long<=ftrightarrow;[u,v,w]neq0
Esse é o critério padrão do produto misto: se e somente se o produto misto é não nulo, os três vetores são LI. Logo é verdadeiro.

Passo 5

Analisando
(u,v,w) LD;Longrightarrow;u,//,v,//,w
Dependência linear de três vetores significa que eles estão num plano ou numa reta; não exige que todos sejam colineares. Portanto é falso.

Passo 6

Analisando
(u,v,w) LD;Longrightarrow;(u,v) pode ser LD ou LI
Um exemplo clássico é w=u+v: então o trio é LD mas u,v são LI; se u=v ambos são LD. Logo é verdadeiro.

Resposta

V
F
V
F
V

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