Determine f^{\prime \prime}(x) se:
f(\theta)=2 \cos \left(2 \theta^{2}-3 \theta+1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x) = 2\cos\bigl(2x^2 - 3x + 1\bigr)
e pede a segunda derivada f''(x). Vamos usar a regra da cadeia para derivar a composição \cos(g(x)) e depois a regra do produto para derivar o resultado.

Passo 2

Defina
g(x) = 2x^2 - 3x + 1.
Usando a regra da cadeia, a derivada de f(x)=2\cos\bigl(g(x)\bigr) é
f'(x) =2\bigl(-\sin(g(x))\bigr)\,g'(x) =-2\,g'(x)\,\sin\bigl(g(x)\bigr).
Como
g'(x)=4x-3,
temos
f'(x)=-(8x-6)\,\sin\bigl(2x^2-3x+1\bigr).

Passo 3

Para obter f''(x), trate f'(x) como produto de
u(x)=-(8x-6) \quad\text{e}\quad v(x)=\sin\bigl(g(x)\bigr).
Então
u'(x)=-8, \qquad v'(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) =\cos\bigl(2x^2-3x+1\bigr)\,(4x-3).
Aplicando a regra do produto,
f''(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-8\,\sin\bigl(g(x)\bigr) -(8x-6)\,(4x-3)\,\cos\bigl(g(x)\bigr).

Passo 4

Basta expandir (8x-6)(4x-3):
(8x-6)(4x-3) =32x^2-48x+18.
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f''(x) =-8\,\sin\bigl(2x^2-3x+1\bigr) -\bigl(32x^2-48x+18\bigr)\, \cos\bigl(2x^2-3x+1\bigr).

Resposta

f''(x) =-8\,\sin\bigl(2x^2-3x+1\bigr) -\bigl(32x^2-48x+18\bigr)\, \cos\bigl(2x^2-3x+1\bigr).

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