Determine f^{\prime \prime}(x) se:
f(\theta)=\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
f(\theta)=\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
O conteúdo usado será identidades trigonométricas (double‐angle) e as regras de derivação (regra da cadeia e derivada de funções trigonométricas).

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{2}a\,\cos^{2}a=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2a).
No nosso caso a=\tfrac{\theta}{2}, então
f(\theta) =\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr) =\tfrac{1}{4}\,\sin^{2}(\theta).

Passo 3

Derivamos f(\theta)=\tfrac{1}{4}\sin^{2}\theta usando a regra da cadeia:
f'(\theta) =\tfrac{1}{4}\cdot 2\,\sin\theta\cdot\cos\theta =\tfrac{1}{2}\,\sin\theta\cos\theta.
Para simplificar, observamos que \sin\theta\cos\theta=\tfrac12\sin(2\theta), logo
f'(\theta)=\tfrac{1}{2}\,\sin\theta\cos\theta =\tfrac{1}{4}\,\sin(2\theta).

Passo 4

Derivamos f'(\theta)=\tfrac{1}{4}\sin(2\theta) usando a regra da cadeia:
f''(\theta) =\tfrac{1}{4}\cdot 2\,\cos(2\theta) =\tfrac{1}{2}\,\cos(2\theta).

Resposta

f''(x)=\tfrac{1}{2}\cos\bigl(2x\bigr).

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