Determine f^prime prime(x) se:
f(x)=arctg x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=arctg x, ou seja, f’’(x). O conteúdo é derivação de função inversa (arctan), e vamos precisar lembrar a fórmula de f’(x) e depois derivar de novo.

Passo 2

Para começar, usamos que a derivada de arctan(x) é dada por
ddxl(arctan xr)=11+x^2
Logo, temos
f'(x)=11+x^2

Passo 3

Agora precisamos derivar f’(x) para obter f’’(x). Vamos reescrever f’(x) como potência:
f'(x)=(1+x^2)^-1

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e o poder (power rule), temos
f''(x)=ddxl[(1+x^2)^-1r]=-1,(1+x^2)^-2cdot(2x)= -2x(1+x^2)^2

Resposta

f’’(x)= -\frac{2x}{(1+x2)2}

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