Determine f^prime prime(x) se:
f(x)=raiz3-x^2

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)= raiz3-x^2. O conteúdo envolvido é derivadas de funções compostas e produto, então vamos usar a regra da cadeia para achar f' e a regra do produto para achar f''.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(x)=(3-x^2)^1/2 e aplicamos a regra da cadeia. Definindo u=3-x^2, temos u'=-2x e
f'(x)=tfrac12,u^-1/2cdot u'=tfrac12,(3-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-x,(3-x^2)^-1/2= -xraiz3-x^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-x,(3-x^2)^-1/2 usando a regra do produto. Seja u=-x e v=(3-x^2)^-1/2. Então u'=-1 e, pela regra da cadeia,
v'= -tfrac12,(3-x^2)^-3/2cdot(-2x)= x,(3-x^2)^-3/2

Passo 4

Logo

Passo 5

Por fim, fatorando (3-x^2)^-3/2 e somando (3-x^2)+x^2=3, obtemos
f''(x)=-3,(3-x^2)^-3/2

Resposta

-3(3-x^2)^3/2

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