Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
\operatorname{sen} e^{5 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(e^{5x}\bigr)
e pede f'(x). Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, pois f é composição de funções.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas na composição:
a função externa
g(u)=\operatorname{sen}(u)
e a função interna
u(x)=e^{5x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada uma:
para g(u),
g'(u)=\cos(u);
para u(x),
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{5x}\bigr)=5e^{5x}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\cos\bigl(e^{5x}\bigr)\cdot5e^{5x} =5e^{5x}\cos\bigl(e^{5x}\bigr).

Resposta

f'(x)=5e^{5x}\cos\bigl(e^{5x}\bigr).

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