Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
e^{1 / x}+\left(1 / e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^{1/x}+\bigl(1/e^{x}\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia para a parte e^{1/x} e a regra da exponenciação para 1/e^{x}.

Passo 2

Para f_{1}(x)=e^{1/x}, aplicamos a regra da cadeia:
a derivada de e^{u} é e^{u}\,u', onde u=1/x.
Calculando
u'=\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr)=-\frac{1}{x^{2}},
temos
f_{1}'(x)=e^{1/x}\,\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.

Passo 3

Para f_{2}(x)=\frac{1}{e^{x}}, note que \frac{1}{e^{x}}=e^{-x}.
A derivada de e^{-x} é e^{-x} vezes a derivada de -x, que é -1.
Logo,
f_{2}'(x)=e^{-x}\,(-1)=-e^{-x}.

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas, obtemos
f'(x)=f_{1}'(x)+f_{2}'(x) =-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}-e^{-x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}-e^{-x}.

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