Determine f^{\prime \prime}(x) se:
\; f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
f(x) = \ln\!\Bigl(\tfrac1x + \tfrac1{x^2}\Bigr).
Para resolver vamos usar as propriedades de logaritmo (transformar soma em produto/razão) e as regras de derivação: derivada de \ln(u) é u'/u, derivada de x^n é n x^{n-1} e a soma/razão das funções.

Passo 2

Primeiro simplificamos o argumento do logaritmo:
\frac1x + \frac1{x^2} = \frac{x+1}{x^2}.
Aplicando \ln(a/b)=\ln a-\ln b e \ln(x^2)=2\ln x, obtemos
f(x) = \ln(x+1) - 2\,\ln x.

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada usando derivada de \ln:
– derivada de \ln(x+1) é \tfrac{1}{x+1};
– derivada de -2\ln x é -2\cdot\tfrac1x.
Logo
f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x}.

Passo 4

Por fim derivamos f'(x) termo a termo:
– derivada de \tfrac1{x+1} é -\tfrac1{(x+1)^2};
– derivada de -\tfrac{2}{x} é +\tfrac{2}{x^2}.
Assim
f''(x) = \frac{2}{x^2} \;-\; \frac{1}{(x+1)^2}.

Resposta

f''(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{1}{(x+1)^2}.

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