Determine f^{\prime \prime}(x) se:
f(x)=\sqrt{3 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{3x+1}
e pede a segunda derivada f''(x).
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra do poder e da regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=(3x+1)^{\tfrac12}.
Para encontrar f'(x), usamos a regra da cadeia: derivada de (u)^{1/2} é \tfrac12\,u^{-1/2} vezes u'. Tomando u=3x+1 com u'=3, obtemos
f'(x) =\frac12\,(3x+1)^{-\tfrac12}\cdot 3 =\frac{3}{2}\,(3x+1)^{-\tfrac12} =\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=\tfrac{3}{2}(3x+1)^{-1/2}. Aplicando novamente a regra do poder mais a cadeia (com a mesma u=3x+1 e u'=3), temos
f''(x) =\frac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,(3x+1)^{-\tfrac32}\cdot 3 =-\frac{9}{4}\,(3x+1)^{-\tfrac32}.

Resposta

f''(x)=-\frac{9}{4\,(3x+1)^{3/2}}.

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