Determine f^prime prime(x) se:
f(x)=pi^ln x^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a segunda derivada de f(x)=π^{ln x²}. O conteúdo envolvido é derivada de funções exponenciais com base constante e expoente dependente de x. Vamos usar a regra de derivação de a^{u(x)}, a regra da cadeia, derivada de ln e a regra do produto.

Passo 2

Começamos encontrando f’(x). Sabemos que, para f(x)=a^{u(x)}, vale f’(x)=a^{u(x)}·ln(a)·u’(x). Aqui a=π e u(x)=ln x². Primeiro calculamos u’(x):
u(x)=ln x²=2ln x ²
u'(x)=2cdot1x=2x
Logo,
f'(x)=pi^ln x²cdotlnpicdot2x=2lnpix,pi^ln x² ²².

Passo 3

Agora derivamos f’(x) para obter f’’(x). Note que f’(x)=u(x)·v(x) com u(x)=2\ln\pi/x e v(x)=π^{ln x²}. Usamos a regra do produto f’’=u’v+uv’. Primeiro u’(x) e v’(x):
u(x)=2lnpi,x^-1implies u'(x)=-2lnpi,x^-2=-2lnpix² ²
Para v’(x) reconhecemos que v(x)=f(x) então v’(x)=f’(x)=\frac{2\ln\pi}{x},\pi^{\ln x²}.

Passo 4

Substituindo em f’’=u’v+u·v’:
f''(x)=-2lnpix²,pi^ln x²+2lnpixcdot2lnpix,pi^ln x² ²²²
Agrupando termos em comum π^{ln x²}/x²:
f''(x)=pi^ln x²,-2lnpi+(2lnpi)²x² ²²².

Passo 5

Fatorando o numerador e escrevendo a forma final: temos (2\lnπ)²-2\lnπ=2\lnπ(2\lnπ-1). Assim

Resposta

f''(x)=pi^ln x²,2lnpi,(2lnpi-1)x²²²

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