Determine
se:
Passo 1
O exercício pede para calcular a segunda derivada de f(x)=π^{ln x²}. O conteúdo envolvido é derivada de funções exponenciais com base constante e expoente dependente de x. Vamos usar a regra de derivação de a^{u(x)}, a regra da cadeia, derivada de ln e a regra do produto.
Passo 2
Começamos encontrando f’(x). Sabemos que, para f(x)=a^{u(x)}, vale f’(x)=a^{u(x)}·ln(a)·u’(x). Aqui a=π e u(x)=ln x². Primeiro calculamos u’(x):
Logo,
Passo 3
Agora derivamos f’(x) para obter f’’(x). Note que f’(x)=u(x)·v(x) com u(x)=2\ln\pi/x e v(x)=π^{ln x²}. Usamos a regra do produto f’’=u’v+uv’. Primeiro u’(x) e v’(x):
Para v’(x) reconhecemos que v(x)=f(x) então v’(x)=f’(x)=\frac{2\ln\pi}{x},\pi^{\ln x²}.
Passo 4
Substituindo em f’’=u’v+u·v’:
Agrupando termos em comum π^{ln x²}/x²:
Passo 5
Fatorando o numerador e escrevendo a forma final: temos (2\lnπ)²-2\lnπ=2\lnπ(2\lnπ-1). Assim