Determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
para
e
.
A pergunta é: determinar a função que tem essa derivada e satisfaz a condição inicial dada.
A pergunta é: determinar a função
Passo 2
Ideia geral (mini-aula): se conhecemos
, obtemos
encontrando uma primitiva (antiderivada) de
e adicionando uma constante
.
Regra importante que usaremos: para qualquer ,
Regra importante que usaremos: para qualquer
Outra fórmula que vamos usar é
Como o domínio dado é
, podemos usar
em vez de
.
Passo 3
Integramos o primeiro termo
. Aplicando a linearidade da integral e a regra da potência:
Expliquei: multipliquei por 8 depois de integrar
usando
.
Passo 4
Integramos o segundo termo
. Usando a fórmula do logaritmo:
pois
. Então a primitiva geral é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Usamos a condição inicial
para achar
. Substituindo
em
:
Logo
.
Passo 6
Conclusão e verificação rápida: com
obtemos
Verificação da derivada:
,
e
; portanto
, que é exatamente o que o enunciado dava. Verificação da condição inicial:
. Tudo bate.