Determine f.
f^{\prime}(x)=8 x^{3}+\frac{1}{x}, \quad x>0, \quad f(1)=1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\;f^{\prime}(x)=8x^{3}+\dfrac{1}{x} para \;x>0 e \;f(1)=1.
A pergunta é: determinar a função \;f(x) que tem essa derivada e satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Ideia geral (mini-aula): se conhecemos \;f^{\prime}(x), obtemos \;f(x) encontrando uma primitiva (antiderivada) de \;f^{\prime} e adicionando uma constante \;C.
Regra importante que usaremos: para qualquer \;n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Outra fórmula que vamos usar é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Como o domínio dado é \;x>0, podemos usar \ln x em vez de \ln|x|.

Passo 3

Integramos o primeiro termo \;8x^{3}. Aplicando a linearidade da integral e a regra da potência:
\int 8x^{3}\,dx = 8\int x^{3}\,dx = 8\cdot\frac{x^{4}}{4}=2x^{4}.
Expliquei: multipliquei por 8 depois de integrar x^{3} usando \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Integramos o segundo termo \;\dfrac{1}{x}. Usando a fórmula do logaritmo:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|=\ln x,
pois \;x>0. Então a primitiva geral é
f(x)=2x^{4}+\ln x + C,
onde \;C é a constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição inicial \;f(1)=1 para achar \;C. Substituindo x=1 em \;f(x):
f(1)=2\cdot 1^{4}+\ln 1 + C = 2 + 0 + C = 1.
Logo \;C=1-2=-1.

Passo 6

Conclusão e verificação rápida: com \;C=-1 obtemos
f(x)=2x^{4}+\ln x -1.
Verificação da derivada: \;(2x^{4})' = 8x^{3}, (\ln x)' = 1/x e (-1)'=0; portanto \;f'(x)=8x^{3}+\dfrac{1}{x}, que é exatamente o que o enunciado dava. Verificação da condição inicial: \;f(1)=2+0-1=1. Tudo bate.

Resposta

f(x)=2x^{4}+\ln x -1

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