Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função e um valor inicial. Especificamente: temos
e a condição
. A pergunta é: determinar a função
, ou seja, encontrar
que satisfaça essas informações.
Passo 2
Primeiro, simplifico a expressão de
. Note que
portanto
Ficou mais claro: a derivada é a soma de
com
.
Passo 3
Para recuperar
a partir de
usamos antiderivação (integração): se
então
onde
é constante de integração. Vou integrar termo a termo. Lembre que a regra básica que vamos usar é a regra da potência:
Passo 4
Integro o primeiro termo
. Escrevo
e aplico a regra da potência:
Explicando passo a passo: somei os expoentes
e dividi por
, que é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 5
Agora integro o segundo termo
. Posso tirar a constante
para fora da integral:
Usei que
.
Passo 6
Somando as antiderivadas dos termos e adicionando a constante
, obtenho a expressão geral de
:
Passo 7
Agora uso a condição inicial
para determinar
. Substituo
:
Calculo
. Então
e
Logo
Somando as frações:
, então
. Assim
Passo 8
Substituo
na expressão geral para obter
explicitamente:
Como checagem rápida: derivando esse
obtemos
e
, somando dá
, que é exatamente
antes de usarmos a condição inicial. Tudo consistente.