Determine f.
f^{\prime}(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{-2}, \quad f(9)=4

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função e um valor inicial. Especificamente: temos f^{\prime}(x)=\sqrt{x}-\frac{x}{-2} e a condição f(9)=4. A pergunta é: determinar a função f, ou seja, encontrar f(x) que satisfaça essas informações.

Passo 2

Primeiro, simplifico a expressão de f^{\prime}(x). Note que
\frac{x}{-2} = -\frac{x}{2},
portanto
f^{\prime}(x)=\sqrt{x}-\left(-\frac{x}{2}\right)=\sqrt{x}+\frac{x}{2}.
Ficou mais claro: a derivada é a soma de \sqrt{x} com \frac{x}{2}.

Passo 3

Para recuperar f a partir de f^{\prime} usamos antiderivação (integração): se f^{\prime}(x)=g(x) então
f(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Vou integrar termo a termo. Lembre que a regra básica que vamos usar é a regra da potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \text{para } n\neq -1.

Passo 4

Integro o primeiro termo \sqrt{x}. Escrevo \sqrt{x}=x^{1/2} e aplico a regra da potência:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Explicando passo a passo: somei os expoentes 1/2+1=3/2 e dividi por 3/2, que é o mesmo que multiplicar por 2/3.

Passo 5

Agora integro o segundo termo \frac{x}{2}. Posso tirar a constante 1/2 para fora da integral:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Usei que \int x\,dx = x^{2}/2.

Passo 6

Somando as antiderivadas dos termos e adicionando a constante C, obtenho a expressão geral de f:
f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{x^{2}}{4}+C.

Passo 7

Agora uso a condição inicial f(9)=4 para determinar C. Substituo x=9:
f(9)=\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}+\frac{9^{2}}{4}+C.
Calculo 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27. Então
\frac{2}{3}\cdot 27 = 18,
e
\frac{9^{2}}{4}=\frac{81}{4}.
Logo
18+\frac{81}{4}+C = 4.
Somando as frações: 18=\frac{72}{4}, então 18+\frac{81}{4}=\frac{153}{4}. Assim
\frac{153}{4}+C=4 \quad\Rightarrow\quad C=4-\frac{153}{4}=\frac{16-153}{4}=-\frac{137}{4}.

Passo 8

Substituo C na expressão geral para obter f explicitamente:
f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{137}{4}.
Como checagem rápida: derivando esse f obtemos \frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=x^{1/2} e \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{4}\right)=\frac{x}{2}, somando dá \sqrt{x}+\frac{x}{2}, que é exatamente f^{\prime}(x) antes de usarmos a condição inicial. Tudo consistente.

Resposta

f(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{137}{4}

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