Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=5 \sqrt[5]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}-5

Passo 1

O enunciado pede para determinar f^{\prime}(x), onde a função dada é
f(x)=5 \sqrt[5]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}-5.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é escrita com radicais: \sqrt[5]{x^{2}}, \sqrt[3]{x} e \sqrt{x}.
  • É solicitado o derivado f^{\prime}(x).
  • Atenção com o domínio: por causa do termo \dfrac{2}{\sqrt{x}}, a expressão original exige x>0 (para termos reais). Portanto todas as derivações abaixo são válidas para x>0.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever os radicais em potências fracionárias — isso facilita aplicar as regras de diferenciação:
\sqrt[5]{x^{2}} = x^{2/5},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{1/3},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Assim a função fica
f(x)=5x^{2/5}+x^{1/3}-2x^{-1/2}-5.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas e sem mistério):
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) função, então \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (fundamental aqui): para n real e x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isto significa que para funções como x^{2/5}, x^{1/3}, x^{-1/2} basta multiplicar pelo expoente e diminuir 1 no expoente.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}[{\rm const}]=0.

Passo 4

Derivamos termo a termo, mostrando cada conta:
  1. Primeiro termo: 5x^{2/5}. Aplicando fator constante e regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2/5}\bigr)=5\cdot\frac{2}{5}x^{2/5-1}.
Calcule a constante: 5\cdot\frac{2}{5}=2. Subtraindo expoentes: 2/5-1=2/5-5/5=-3/5. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2/5}\bigr)=2x^{-3/5}.
  1. Segundo termo: x^{1/3}. Pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
  1. Terceiro termo: -2x^{-1/2}. Aplicando fator constante e potência,
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-1/2}\bigr)=-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}.
Multiplicando as constantes: -2)\cdot(-1/2)=1. Subtraindo expoentes: -1/2-1=-3/2. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-1/2}\bigr)=x^{-3/2}.
  1. Quarto termo: -5. Como é constante,
\frac{d}{dx}(-5)=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (já que a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
f^{\prime}(x)=2x^{-3/5}+\frac{1}{3}x^{-2/3}+x^{-3/2},\qquad x>0.
Opcionalmente, reescrevendo em forma de radicais:
f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{3/5}}+\frac{1}{3x^{2/3}}+\frac{1}{x^{3/2}} =\frac{2}{\sqrt[5]{x^{3}}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{x^{3/2}}.
Dica prática para a prova: converta radicais em potências fracionárias e aplique direto a regra da potência; em muitos casos constantes multiplicativas cancelam de forma simples (como no primeiro termo).

Resposta

f^{\prime}(x)=2x^{-3/5}+\dfrac{1}{3}x^{-2/3}+x^{-3/2}

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