Determine
, onde a função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
, onde a função dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é escrita com radicais:
, e . - É solicitado o derivado
. - Atenção com o domínio: por causa do termo
, a expressão original exige (para termos reais). Portanto todas as derivações abaixo são válidas para .
Passo 2
Vamos primeiro reescrever os radicais em potências fracionárias — isso facilita aplicar as regras de diferenciação:
Assim a função fica
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas e sem mistério):
- Regra do fator constante: se
é constante e função, então . - Regra da potência (fundamental aqui): para
real e ,
Isto significa que para funções como
,
,
basta multiplicar pelo expoente e diminuir 1 no expoente.
- Derivada de constante:
.
Passo 4
Derivamos termo a termo, mostrando cada conta:
- Primeiro termo:
. Aplicando fator constante e regra da potência,
Calcule a constante:
. Subtraindo expoentes:
. Logo
- Segundo termo:
. Pela regra da potência,
- Terceiro termo:
. Aplicando fator constante e potência,
Multiplicando as constantes:
. Subtraindo expoentes:
. Portanto
- Quarto termo:
. Como é constante,
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (já que a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos
Opcionalmente, reescrevendo em forma de radicais:
Dica prática para a prova: converta radicais em potências fracionárias e aplique direto a regra da potência; em muitos casos constantes multiplicativas cancelam de forma simples (como no primeiro termo).