Determine
, onde a função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma razão entre duas funções polinomiais.
- A função não está definida em
(pois aí). Logo a derivada só pode ser considerada para . - A tarefa é calcular
(a derivada de em termos de ).
Passo 2
Escolha do método: o modo mais direto e didático aqui é aplicar a regra do quociente (quotient rule), que é básico e rápido para uma razão de duas funções. Vou explicar essa regra e aplicá-la passo a passo.
Passo 3
Apresentando a regra do quociente: se
e
são funções diferenciáveis com
, então
Explicando os símbolos:
-
é o numerador, é o denominador. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
A fórmula diz: derivee separadamente, faça e divida por .
Passo 4
Identificar
e
e calcular as derivadas:
- Tome
. Então (derivada de é ; constante some). - Tome
. Então (derivada de é ; de é ).
Passo 5
Aplicar a regra do quociente substituindo
:
Agora desenvolver as multiplicações e simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 6
Podemos factorizar um
no numerador para deixar mais compacto:
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão vale para
(onde
e
não estão definidas).
Passo 7
Verificação (opcional, para treinar): se preferir, poderia primeiro fazer divisão polinomial de
por
e diferenciar termo a termo; o resultado coincide com a expressão obtida acima. Isso confirma que a conta está correta.