Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=\frac{x^{2}+2}{2 x-3} \quad

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada:
f(x)=\frac{x^{2}+2}{2x-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão entre duas funções polinomiais.
  • A função não está definida em x=\tfrac{3}{2} (pois 2x-3=0 aí). Logo a derivada só pode ser considerada para x\neq\tfrac{3}{2}.
  • A tarefa é calcular f'(x) (a derivada de f em termos de x).

Passo 2

Escolha do método: o modo mais direto e didático aqui é aplicar a regra do quociente (quotient rule), que é básico e rápido para uma razão de duas funções. Vou explicar essa regra e aplicá-la passo a passo.

Passo 3

Apresentando a regra do quociente: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis com v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando os símbolos:
  • u(x) é o numerador, v(x) é o denominador.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    A fórmula diz: derive u e v separadamente, faça u'v - u v' e divida por v^{2}.

Passo 4

Identificar u e v e calcular as derivadas:
  • Tome u(x)=x^{2}+2. Então u'(x)=2x (derivada de x^{2} é 2x; constante some).
  • Tome v(x)=2x-3. Então v'(x)=2 (derivada de 2x é 2; de -3 é 0).

Passo 5

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)(2x-3)-(x^{2}+2)(2)}{(2x-3)^{2}}.
Agora desenvolver as multiplicações e simplificar o numerador passo a passo:
(2x)(2x-3)=4x^{2}-6x, \qquad (x^{2}+2)(2)=2x^{2}+4.
Subtraindo:
4x^{2}-6x-(2x^{2}+4)=4x^{2}-6x-2x^{2}-4=2x^{2}-6x-4.
Portanto
f'(x)=\frac{2x^{2}-6x-4}{(2x-3)^{2}}.

Passo 6

Podemos factorizar um 2 no numerador para deixar mais compacto:
f'(x)=\frac{2(x^{2}-3x-2)}{(2x-3)^{2}}.
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão vale para x\neq\tfrac{3}{2} (onde f e f' não estão definidas).

Passo 7

Verificação (opcional, para treinar): se preferir, poderia primeiro fazer divisão polinomial de x^{2}+2 por 2x-3 e diferenciar termo a termo; o resultado coincide com a expressão obtida acima. Isso confirma que a conta está correta.

Resposta

\dfrac{2x^{2}-6x-4}{(2x-3)^{2}}

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